IEEE-754 浮点数：先除还是先乘以获得最佳精度？

Question

如果我想在使用 IEEE-754 浮点值的计算中保持尽可能多的精度，那更好：

a = b * c / d

或者

a = b / d * c

有区别吗？如果有，它是否取决于输入值的大小？而且，如果幅度很重要，那么在已知值的一般幅度时如何确定最佳排序？

Answer 1

这取决于值的大小。显然，如果一除以零，所有的赌注都会被取消，但如果乘法或除法导致非正规的后续操作可能会失去精度。

您可能会发现研究戈德堡的开创性论文《每个计算机科学家应该了解浮点算术是什么》很有用，它将比您在这里可能收到的任何答案更好地解释事情。（Goldberg 是 IEEE-754 的原作者之一。）

Answer 2

假设所有操作都不会产生上溢或下溢，并且您的输入值具有均匀分布的有效数，那么这是等效的。好吧，我想为了有一个严格的证明，应该进行详尽的测试（在实践中对于双精度可能是不可能的，因为有 2^156 个输入），但是如果平均误差存在差异，那么它是很小的。我可以用Sipe尝试低精度。

无论如何，在没有上溢/下溢的情况下，只有有效数字的精确值才重要，而不是指数。

但是，如果结果a被添加到另一个表达式（或从中减去）并且不被重复使用，那么从除法开始可能会更有趣，因为您可以使用 FMA 将乘法与以下加法分组（从而使用单舍入）。