如何使用Python内置函数odeint求解微分方程？

Question

我想用给定的初始条件求解这个微分方程:

(3x-1)y''-(3x+2)y'+(6x-8)y=0, y(0)=2, y'(0)=3

ans应该是

y=2*exp(2*x)-x*exp(-x)

这是我的代码:

def g(y,x):
    y0 = y[0]
    y1 = y[1]
    y2 = (6*x-8)*y0/(3*x-1)+(3*x+2)*y1/(3*x-1)
    return [y1,y2]

init = [2.0, 3.0]
x=np.linspace(-2,2,100)
sol=spi.odeint(g,init,x)
plt.plot(x,sol[:,0])
plt.show()

但我得到的不同于答案.我做错了什么？

Answer 1

这里有几个问题.首先,你的等式显然是

(3×-1)Y '' - (3×+ 2)Y' - (6X-8)Y = 0; y(0)= 2,y'(0)= 3

(注意y中术语的符号).对于这个等式,您的分析解决方案和定义y2是正确的.

其次,作为@Warren Weckesser说,你必须通过2个参数为y以g:y[0](Y),y[1](Y '),并返回它们的衍生物,Y'和y ''.

第三,你的初始条件是x = 0,但你要整合的x网格从-2开始.来自docs for odeint,this参数,t在他们的调用签名描述中:

odeint(func, y0, t, args=(),...):

t:array要求解y的时间点序列.初始值点应该是此序列的第一个元素.

因此,您必须从0开始积分或提供从-2开始的初始条件.

最后,您的整合范围涵盖了x = 1/3处的奇点.odeint可能在这里度过了不愉快的时光(但显然没有).

这是一种似乎有效的方法:

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def g(y, x):
    y0 = y[0]
    y1 = y[1]
    y2 = ((3*x+2)*y1 + (6*x-8)*y0)/(3*x-1)
    return y1, y2

# Initial conditions on y, y' at x=0
init = 2.0, 3.0
# First integrate from 0 to 2
x = np.linspace(0,2,100)
sol=odeint(g, init, x)
# Then integrate from 0 to -2
plt.plot(x, sol[:,0], color='b')
x = np.linspace(0,-2,100)
sol=odeint(g, init, x)
plt.plot(x, sol[:,0], color='b')

# The analytical answer in red dots
exact_x = np.linspace(-2,2,10)
exact_y = 2*np.exp(2*exact_x)-exact_x*np.exp(-exact_x)
plt.plot(exact_x,exact_y, 'o', color='r', label='exact')
plt.legend()

plt.show()