为什么Verlet集成比Euler集成更好？

Question

有人可以向我解释为什么Verlet集成比Euler集成更好吗？为什么RK4比Verlet更好？我不明白为什么这是一个更好的方法.

Answer 1

Verlet方法擅长模拟具有节能的系统,原因是它是辛的.为了理解这个陈述,您必须将模拟中的时间步骤描述为将状态空间映射到自身的函数f.换句话说,每个时间步长可以写在下面的表格上.

(x(t + dt),v(t + dt))= f(x(t),v(t))

Verlet方法的时间步长函数f具有保留状态空间量的特殊属性.我们可以用数学术语来写这个.如果状态空间中有一组状态A,则可以定义f(A)

f(A)= {f(x)| 对于A中的x}

现在让我们假设集合A和f(A)是平滑的,所以我们可以定义它们的体积.然后,辛映射f将始终满足f(A)的体积与A的体积相同(并且这将适用于A的所有良好和平滑的选择).这通过Verlet方法的时间步长函数来实现,因此Verlet方法是一种辛方法.

现在最后一个问题是.为什么辛方法适用于模拟具有节能的系统,但我担心你必须阅读一本书才能理解这一点.

Answer 2

所述欧拉法是一阶积分方案,即,总误差正比于步长大小.但是,它可能在数值上不稳定,换句话说,累积的误差可能会压倒计算,从而导致无意义.请注意,无论步长大小或系统是否为线性,都会出现这种不稳定性.我不熟悉verlet集成,所以我不能说它的功效.但是,Runge-Kutta方法与Euler 方法的不同之处不仅仅是步长.

从本质上讲,它们基于一种更好的数值近似导数的方法.目前准确的细节让我感到惊讶.一般来说,四阶Runge-Kutta方法被认为是整合方案的主力,但它确实有一些缺点.它略微耗散,即在计算中添加一个小的一阶导数依赖项,类似于增加的摩擦力.此外,它具有固定的步长,这可能导致难以达到您想要的精度.或者,您可以使用自适应步长方案,如Runge-Kutta-Fehlberg方法,该方法为另外6个函数评估提供五阶精度.这样可以大大减少执行你的计算所需要的时间,同时提高精确度,如图所示这里.

Answer 3

如果一切都以线性方式进行，那么您使用什么方法并不重要，但是当发生有趣的事情（即非线性）时，您需要更仔细地观察，或者直接考虑非线性（verlet）或者采用较小的时间步长（rk4）。