2D Gaussian适合Python中某些坐标的强度

Question

我有一组坐标(x,y,z(x,y)),它们描述坐标x,y处的强度(z).对于不同坐标处的这些强度的设定数量,我需要拟合2D高斯,以最小化均方误差.数据在numpy矩阵中,对于每个拟合会话,我将有4,9,16或25个坐标.最终我只需要获得具有最小MSE的高斯(x_0,y_0)的中心位置.所有这一切,我发现使用scipy.optimize.curve_fit但他们输入的数据是在整个网格而不是几个坐标的例子.任何帮助,将不胜感激.

Answer 1

介绍

有多种方法可以解决这个问题.您可以使用非线性方法(例如scipy.optimize.curve_fit),但它们会很慢并且无法保证收敛.您可以将问题线性化(快速,独特的解决方案),但分布的"尾部"中的任何噪声都会导致问题.实际上有一些技巧可以应用于这个特定情况,以避免后一个问题.我将展示一些例子,但我现在没有时间展示所有的"技巧".

正如旁注,一般的2D guassian有6个参数,所以你将无法完全适应4点的东西.然而,听起来你可能假设x和y之间没有协方差,并且每个方向的方差都是相同的(即完美的"圆形"钟形曲线).如果是这种情况,那么您只需要四个参数.如果你知道高斯的振幅,你只需要三个.但是,我将从一般解决方案开始,如果您愿意,可以稍后简化它.

目前,让我们专注于使用非线性方法解决这个问题(例如scipy.optimize.curve_fit).

2D guassian的一般方程是(直接来自维基百科):

哪里:

在协方差矩阵上基本上是0.5,A是幅度,(X 0,Y 0)是中心

生成简化的样本数据

让我们写出上面的等式:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def gauss2d(x, y, amp, x0, y0, a, b, c):
    inner = a * (x - x0)**2 
    inner += 2 * b * (x - x0)**2 * (y - y0)**2
    inner += c * (y - y0)**2
    return amp * np.exp(-inner)

然后让我们生成一些示例数据.首先,我们将生成一些易于使用的数据:

np.random.seed(1977) # For consistency
x, y = np.random.random((2, 10))
x0, y0 = 0.3, 0.7
amp, a, b, c = 1, 2, 3, 4

zobs = gauss2d(x, y, amp, x0, y0, a, b, c)

fig, ax = plt.subplots()
scat = ax.scatter(x, y, c=zobs, s=200)
fig.colorbar(scat)
plt.show()

请注意,我们没有添加任何噪声,并且分布的中心在我们拥有数据的范围内(即中心为0.3,0.7,x和y的散射在0和1之间).现在,让我们坚持下去,然后我们会看到当我们添加噪音并改变中心时会发生什么.

非线性拟合

首先,让我们使用scpy.optimize.curve_fit预先形成适合高斯函数的非线性最小二乘拟合.(在旁注中,您可以使用其中的一些其他函数来使用精确的最小化算法scipy.optimize.)

该scipy.optimize功能预计比我们原来上面写了一个略微不同的函数签名.我们可以写一个包装器来"翻译",但让我们重新编写一下这个gauss2d函数:

def gauss2d(xy, amp, x0, y0, a, b, c):
    x, y = xy
    inner = a * (x - x0)**2
    inner += 2 * b * (x - x0)**2 * (y - y0)**2
    inner += c * (y - y0)**2
    return amp * np.exp(-inner)

我们所做的就是让函数期望自变量(x&y)为单个2xN数组.

现在我们需要初步猜测guassian曲线的参数究竟是什么.这是可选的(默认为全部,如果我没记错的话),但如果1,1不是特别接近高斯曲线的"真实"中心,则可能会出现收敛问题.因此,我们将使用我们观察到的最大z值的x和y值作为中心的起点.我将剩下的参数保留为1,但如果您知道它们可能始终存在显着差异,请将它们更改为更合理的参数.

这是完整的,独立的例子:

import numpy as np
import scipy.optimize as opt
import matplotlib.pyplot as plt

def main():
    x0, y0 = 0.3, 0.7
    amp, a, b, c = 1, 2, 3, 4
    true_params = [amp, x0, y0, a, b, c]
    xy, zobs = generate_example_data(10, true_params)
    x, y = xy

    i = zobs.argmax()
    guess = [1, x[i], y[i], 1, 1, 1]
    pred_params, uncert_cov = opt.curve_fit(gauss2d, xy, zobs, p0=guess)

    zpred = gauss2d(xy, *pred_params)
    print 'True parameters: ', true_params
    print 'Predicted params:', pred_params
    print 'Residual, RMS(obs - pred):', np.sqrt(np.mean((zobs - zpred)**2))

    plot(xy, zobs, pred_params)
    plt.show()

def gauss2d(xy, amp, x0, y0, a, b, c):
    x, y = xy
    inner = a * (x - x0)**2
    inner += 2 * b * (x - x0)**2 * (y - y0)**2
    inner += c * (y - y0)**2
    return amp * np.exp(-inner)

def generate_example_data(num, params):
    np.random.seed(1977) # For consistency
    xy = np.random.random((2, num))

    zobs = gauss2d(xy, *params)
    return xy, zobs

def plot(xy, zobs, pred_params):
    x, y = xy
    yi, xi = np.mgrid[:1:30j, -.2:1.2:30j]
    xyi = np.vstack([xi.ravel(), yi.ravel()])

    zpred = gauss2d(xyi, *pred_params)
    zpred.shape = xi.shape

    fig, ax = plt.subplots()
    ax.scatter(x, y, c=zobs, s=200, vmin=zpred.min(), vmax=zpred.max())
    im = ax.imshow(zpred, extent=[xi.min(), xi.max(), yi.max(), yi.min()],
                   aspect='auto')
    fig.colorbar(im)
    ax.invert_yaxis()
    return fig

main()

在这种情况下,我们确切地(ish)恢复我们原来的"真实"参数.

True parameters:  [1, 0.3, 0.7, 2, 3, 4]
Predicted params: [ 1.   0.3  0.7  2.   3.   4. ]
Residual, RMS(obs - pred): 1.01560615193e-16

正如我们将在一秒钟内看到的那样,情况并非总是如此......

添加噪音

让我们在观察中添加一些噪音.我在这里所做的就是改变generate_example_data功能:

def generate_example_data(num, params):
    np.random.seed(1977) # For consistency
    xy = np.random.random((2, num))

    noise = np.random.normal(0, 0.3, num)
    zobs = gauss2d(xy, *params) + noise
    return xy, zobs

但是,结果看起来很不一样:

就参数而言:

True parameters:  [1, 0.3, 0.7, 2, 3, 4]
Predicted params: [  1.129    0.263   0.750   1.280   32.333   10.103  ]
Residual, RMS(obs - pred): 0.152444640098

预测中心没有太大变化,但参数b和c参数已经发生了很大变化.

如果我们将函数的中心更改为稍微超出点分散的某个位置:

x0, y0 = -0.3, 1.1

因为存在噪音,我们会完全胡说八道!(它仍能正常工作,没有噪音.)

True parameters:  [1, -0.3, 1.1, 2, 3, 4]
Predicted params: [  0.546  -0.939   0.857  -0.488  44.069  -4.136]
Residual, RMS(obs - pred): 0.235664449826

当拟合衰减为零的函数时,这是一个常见问题."尾巴"中的任何噪音都可能导致非常差的结果.有很多策略可以解决这个问题.最简单的方法之一是通过观察到的z值来加权反演.以下是1D案例的示例:(专注于线性化问题)如何快速对多个数据集执行最小二乘拟合？ 如果我以后有时间,我会为2D案例添加一个例子.