获取整合的矢量值

Question

我正在尝试整合正弦函数.我的目标是不仅要获得一定距离之间的区域价值,还要获得综合课程的具体价值.

实现这一目标的一种方法是使用cumtrapz.我想使用积分或四元组得到相同的结果.所以我想知道是否有像cumquad这样的东西？

我试图为自己写一些东西,但它的工作非常缓慢,似乎比cumtrapz更糟糕.后来我想整合测量数据.所以它不会像正弦一样简单.

这是我目前的代码:

a = 0; b = 10;

x = a:0.1:b; 
y = 2*sin(3*x);
pp = spline(x,y);

y2=zeros(1,length(y));
y3=zeros(1,length(y));

y2(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
y3(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
for a=2:(length(y)-1)

   y2(a) = y2(a-1)+integral(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));
   y3(a) = y3(a-1)+quad(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));

end
y4=cumtrapz(x,y);
% y5=cumsum(y);

plot(x,y)
hold on
plot(x,y2,'-ro')
plot(x,y3,'-kx')
plot(x,y4,'g')
syms x % compare with analytical result
ya=2*sin(3*x);
ya5=int(ya)+(2/3);
ezplot(x,ya5)

Answer 1

运用 integral

我认为没有办法让MATLAB沿路径返回积分,所以你在一次执行一个Δx积分时是正确的.缓慢来自循环和随后的每次integral调用重启.您可以通过将每个区间上的积分作为向量值函数来避免循环.

数学

假设我们划分X为N-1的间隔Ñ总边界和表示的区间边界,X _ñ其中的n∈{1,2,3,...,N} ,使得X ₁ ≤X ₂ ≤X ₃ ...≤ X _ñ.那么间隔上的任何积分都是

使用u -substitution:

积分变为:

其中ΔX _Ñ = X _ñ - X _n-1个

代码

所以现在,我们可以通过指定下限x _n-1,指定区间宽度Δx,以及从0到1的积分来构建任何函数的区间积分.最好的部分是,如果下限和间隔宽度是向量,我们可以根据u创建向量值函数,并integral与选项集成'ArrayValued' = true.

x    = a:0.1:b; 
xnm1 = x(1:end-1);
dx   = x(2:end) - xnm1;
fx   = @(x) 2*sin(3*x);
f    = @(u) dx .* fx(dx*u+xnm1);
y    = cumsum([0,integral(@(u)f(u),0,1,'ArrayValued',true)]);

该cumsum账户每一个积分在给定的时间间隔需要有添加到它以前的区间值的事实.

在我的机器上,这至少比循环版本快几个数量级,并且随着间隔计数的增加而变得更好.

运用 ode45

使用也可ode45用于执行集成.它不如该integral方法有效,但它在概念上可能更容易,看起来更干净.实际上,当需要返回与绝对误差相同的绝对误差时,ode45比上面的积分方法慢大约10倍.integral

a    = 0;
b    = 10;

% These options are necessary to approach the accuracy of integral
opt = odeset('RelTol',100*eps(),'AbsTol',eps());
sol = ode45(@(x,y) 2*sin(3*x),[a,b],0,opt);

x    = a:0.01:b; 
yint = deval(sol,x);