sum(1/prime [i] ^ 2)> = 1？

Question

在尝试设计算法时,我偶然发现了这个问题.这不是功课.

设P_i =第一个i素数的数组.现在我需要最小的i那样

Sum<n=0..i> 1 / (P_i[n]*P_i[n])  >=  1.

(如果i存在的话).

i'th prime 的近似值是i*log(i).所以我在Java中尝试过这个:

public static viod main(String args[]) {
    double sum = 0.0;
    long i = 2;

    while(sum<1.0) {
        sum += 1.0 / (i*Math.log(i)*i*Math.log(i));
        i++;
    }

    System.out.println(i+": "+sum);
}

然而,上述情况并未完成,因为它收敛到0.7.然而1/100000000^2,0.0在Java中的轮次,所以这就是为什么它不起作用.出于同样的原因,如果用第6行替换它,它甚至都不起作用

sum += 1.0 / (i*i)

1如果我没有弄错的话应该达到这一点,因为总和应该加快1/2^i,后者收敛1.换句话说,这表明Java舍入导致总和不能达到1.我认为i我的问题至少应该存在.

Answer 1

在这个问题的数学方面,而不是java方面:

如果我理解这个问题,就没有解决方案(没有i的价值).

对于质数{p_1,p_2,... p_i}的任何有限集P_i,令N_i为直到p_i,{1,2,3,...,p_i}的所有整数的集合.和1/p ^ 2(对于P_i中的所有p_n)将小于N_i中x的所有1/x ^ 2的总和.

1/x ^ 2的总和倾向于~1.65,但由于1将永远不会出现在素数集中,因此总和受限于~0.65