n的渐近增长选择楼层(n/2)

Question

如何找到 n choose floor(n/2) 的渐近增长？我尝试使用扩展并得到它等于

[n*(n-1)*........*(floor(n/2)+1)] / (n-floor(n/2))!

知道我怎么去那里吗？任何帮助表示赞赏，更喜欢提示而不是答案

Answer 1

我同意上面的答案，但想提供更多的深度。假设n是偶数，我们有：

为了设定上限，我们在分子中使用斯特林近似的上限，在分母中使用下限（例如，我们想要最大的分子和最小的分母）。这将为我们提供上限：

然后我们将指数分布在分母中得到：

抵消 ， 移动 从分母到分子并化简；我们得到：

对下界执行相同的过程，将斯特林近似上界放在分母中，将下界放在分子中。这将产生：

然后我们知道它的下限是一些常数时间 它的上限是另一个常数时间 .

因此，我们得出结论它的渐近增长是 .

Answer 2

使用斯特林近似，您可以得到

n! = \sqrt{2n\pi}(n/e)^n

如果你将它代入 $\choose{n}{n/2}$，你最终应该得到

2^{n+1/2}/\sqrt{n\pi}

附言。在实际使用答案之前，您可能需要检查我的数学:-)