高斯_filter和gaussian_kde中sigma与带宽的关系

Question

如果分别适当地选择每个函数中的和参数,则对给定数据集应用函数scipy.ndimage.filters.gaussian_filter和scipy.stats.gaussian_kde可以给出非常相似的结果.sigmabw_method

例如,我可以获取由以下曲线设定点的随机分布2D sigma=2.中gaussian_filter(左侧曲线)和bw_method=sigma/30.在gaussian_kde(右曲线):

(MWE位于问题的最底部)

这些参数之间显然存在关系,因为一个应用高斯滤波器而另一个应用高斯核密度估计器.

每个参数的定义是:

• scipy.ndimage.filters.gaussian_filter , sigma:

sigma:标量或标量序列高斯核的标准偏差.高斯滤波器的标准偏差是作为序列给出的每个轴,或者是单个数字,在这种情况下,它对所有轴都是相等的.

鉴于高斯算子的定义,我可以理解这个:

• scipy.stats.gaussian_kde , bw_method:

bw_method:str,scalar或callable,optional用于计算估计器带宽的方法.这可以是'scott','silverman',标量常量或可调用.如果是标量,则将直接用作kde.factor.如果是可调用的,则应该将gaussian_kde实例作为唯一参数并返回标量.如果为None(默认值),则使用"scott".有关详细信息,请参阅注释

在这种情况下,让我们假设输入bw_method是一个标量(浮点数),以便与之相比较sigma.这是我迷路的地方,因为我无法在任何kde.factor地方找到有关此参数的信息.

我想知道的是连接这些参数的精确数学方程式(即:sigma和bw_method使用浮点数时),如果可能的话.

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MWE:

import numpy as np
from scipy.stats import gaussian_kde
from scipy.ndimage.filters import gaussian_filter
import matplotlib.pyplot as plt

def rand_data():
    return np.random.uniform(low=1., high=200., size=(1000,))

# Generate 2D data.
x_data, y_data = rand_data(), rand_data()
xmin, xmax = min(x_data), max(x_data)
ymin, ymax = min(y_data), max(y_data)

# Define grid density.
gd = 100
# Define bandwidth
bw = 2.

# Using gaussian_filter
# Obtain 2D histogram.
rang = [[xmin, xmax], [ymin, ymax]]
binsxy = [gd, gd]
hist1, xedges, yedges = np.histogram2d(x_data, y_data, range=rang, bins=binsxy)
# Gaussian filtered histogram.
h_g = gaussian_filter(hist1, bw)

# Using gaussian_kde
values = np.vstack([x_data, y_data])
# Data 2D kernel density estimate.
kernel = gaussian_kde(values, bw_method=bw / 30.)
# Define x,y grid.
gd_c = complex(0, gd)
x, y = np.mgrid[xmin:xmax:gd_c, ymin:ymax:gd_c]
positions = np.vstack([x.ravel(), y.ravel()])
# Evaluate KDE.
z = kernel(positions)
# Re-shape for plotting
z = z.reshape(gd, gd)

# Make plots.
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2)
# Gaussian filtered 2D histograms.
ax1.imshow(h_g.transpose(), origin='lower')
ax2.imshow(z.transpose(), origin='lower')

plt.show()

Answer 1

没有关系，因为你们在做两件不同的事情。

使用 scipy.ndimage.filters.gaussian_filter，您可以使用内核过滤 2D 变量（图像），并且该内核恰好是高斯的。它本质上是平滑图像。

使用 scipy.stats.gaussian_kde 您尝试估计 2D 变量的概率密度函数。带宽（或平滑参数）是您的积分步骤，并且应该在数据允许的范围内尽可能小。

这两个图像看起来相同，因为从中抽取样本的均匀分布与正态分布没有太大不同。显然，使用正常的核函数可以得到更好的估计。

您可以阅读有关核密度估计的内容。

编辑：在核密度估计（KDE）中，对核进行缩放，使得带宽是平滑核的标准差。使用哪个带宽并不明显，因为它取决于数据。单变量数据存在一个最佳选择，称为 Silverman 经验法则。

总而言之，高斯滤波器的标准差和 KDE 的带宽之间没有关系，因为我们讨论的是橙子和苹果。然而，仅就KDE 而言，KDE 带宽与同一 KDE 内核的标准差之间存在关系。他们是平等的！事实上，实现细节有所不同，并且可能存在取决于内核大小的缩放。您可以阅读您的特定包 gaussian_kde.py