没有arr的箭头

Question

如果我们将对类别的理解限制Category为Haskell中的常用类:

class Category c where
  id :: c x x
  (>>>) :: c x y -> c y z -> c x z

那么让我们说a Arrow是Category另外一个:

class Category c => Arrow c where
  (***) :: c x y -> c x' y' -> c (x,x') (y,y')
  (&&&) :: c x y -> c x y' -> c x (y,y')

我们可以很容易地推导出:

first :: c x y -> c (x,z) (y,z)
first a = a *** id

second :: c x y -> c (z,x) (z,y)
second a = id *** a

或者,我们可以得出(***)从first和second:

a1 *** a2 = first a1 >>> second a2

我们还可以推导出:

dup :: c x (x,x)
dup = id &&& id

或者我们可以得出(&&&)给定的dup和(***):

a1 &&& a2 = dup >>> (a1 *** a2)

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我的意思是什么,我的问题是什么？就是这样:

什么是Arrow不arr？它看起来非常连贯和有用.是否有任何箭头法律(除了类别法律之外)不涉及arr并保持原样在这里？这在类别理论中意味着什么呢？

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我基本上从reddit中窃取了这个问题,但是对其进行了概括和阐述:http: //www.reddit.com/r/haskell/comments/2e0ane/category_with_fanout_and_split_but_not_an_arrow/

Answer 1

正如Arrow有产品的类别一样，Arrow没有arr产品的类别也是如此（因此类别定律始终成立）。

arr是一个从 Hask 类别到c类别的函子。下面显示的代码表明了这一点。arr提供了一种将普通函数（Hask 中的态射）提升到实例化c类别的方法。这有点像fmap（endofunctor from Hask to Hask），但更通用。与此相关，这里的一些箭头定律描述了函子定律（尽管也有乘积定律）。

因此，通过省略arr，您将失去提升正常功能的功能，或者从另一个角度来看，无需实现它。然而，所有其他特征都是相同的。

{-# LANGUAGE TypeOperators, RankNTypes #-}

-- | Functor arrow
type (:->) c d = forall a b. c a b -> d a b

-- | Hask category; types are objects, functions are morphisms.
type Hask = (->)

arr :: Arrow c => Hask :-> c
arr = Control.Arrow.arr