使用Cairo绘制夹紧的均匀立方B样条

Question

我有一堆坐标,它们是2D平面上夹紧的均匀立方B样条的控制点.我想使用Cairo调用绘制此曲线(在Python中,使用Cairo的Python绑定),但据我所知,Cairo仅支持Bézier曲线.我也知道可以使用Bézier曲线绘制两个控制点之间的B样条曲线,但我无法在任何地方找到精确的公式.给定控制点的坐标,如何导出相应Bézier曲线的控制点？那有什么有效的算法吗？

Answer 1

好的,所以我用Google搜索了很多,我想我想出了一个适合我目的的合理解决方案.我在这里张贴它 - 也许它对其他人也有用.

首先,让我们从一个简单的Point类开始:

from collections import namedtuple

class Point(namedtuple("Point", "x y")):
    __slots__ = ()

    def interpolate(self, other, ratio = 0.5):
        return Point(x = self.x * (1.0-ratio) + other.x * float(ratio), \
                     y = self.y * (1.0-ratio) + other.y * float(ratio))

立方B样条只不过是一组Point对象:

class CubicBSpline(object):
    __slots__ = ("points", )

    def __init__(self, points):
        self.points = [Point(*coords) for coords in points]

现在,假设我们有一个开放的均匀立方B样条而不是夹紧的.三次B样条的四个连续控制点定义单个Bézier段,因此控制点0到3定义第一个Bézier段,控制点1到4定义第二个段,依此类推.Bézier样条的控制点可以通过以适当的方式在B样条的控制点之间线性插值来确定.设A,B,C和D为B样条的四个控制点.计算以下辅助点:

1. 找到以2:1的比例划分AB线的点,让它为A'.
2. 找到以1:2的比例划分CD线的点,让它为D'.
3. 将BC线分成三个相等的部分,让两个点分别为F和G.
4. 找到A'和F之间的点,这将是E.
5. 找到G和D'之间的点,这将是H.

从E到H的Bézier曲线与控制点F和G相当于A,B,C和D点之间的开放B样条.参见本优秀文件的 1-5节.顺便说一句,上述方法被称为Böhm算法,如果用适当的数学方法表示,它也会更加复杂,这也解释了非均匀或非立方B样条.

我们必须对B样条的每组4个连续点重复上述过程,因此最后我们将需要几乎任何连续控制点对之间的1:2和2:1分割点.这是BSplineDrawer绘制曲线之前的以下类所做的事情:

class BSplineDrawer(object):
    def __init__(self, context):
        self.ctx = context

    def draw(self, bspline):
        pairs = zip(bspline.points[:-1], bspline.points[1:])
        one_thirds = [p1.interpolate(p2, 1/3.) for p1, p2 in pairs]
        two_thirds = [p2.interpolate(p1, 1/3.) for p1, p2 in pairs]

        coords = [None] * 6
        for i in xrange(len(bspline.points) - 3):
            start = two_thirds[i].interpolate(one_thirds[i+1])
            coords[0:2] = one_thirds[i+1]
            coords[2:4] = two_thirds[i+1]
            coords[4:6] = two_thirds[i+1].interpolate(one_thirds[i+2])

            self.context.move_to(*start)
            self.context.curve_to(*coords)
            self.context.stroke()

最后,如果我们想要绘制夹紧的B样条而不是开放的B样条,我们只需要重复三次夹紧B样条的两个端点:

class CubicBSpline(object):
    [...]
    def clamped(self):
        new_points = [self.points[0]] * 3 + self.points + [self.points[-1]] * 3
        return CubicBSpline(new_points)

最后,这是代码应该如何使用:

import cairo

surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, 600, 400)
ctx = cairo.Context(surface)

points = [(100,100), (200,100), (200,200), (100,200), (100,400), (300,400)]
spline = CubicBSpline(points).clamped()

ctx.set_source_rgb(0., 0., 1.)
ctx.set_line_width(5)
BSplineDrawer(ctx).draw(spline)