平滑连接圆心

Question

我正在尝试沿着中心绘制一条穿过管子内部的路径。我必须使用的数据是在管道中每一圈的开始和结束处描述管道的圆的中心点。

绘制穿过管道直线段的路径是微不足道的，但我不确定如何接近弯头。两个圆之间的任何转弯都应具有恒定的半径。所以我可以访问这个圆上的两个点，以及该点圆线的方向。

有谁知道我将如何由此计算出圆圈的其余部分？

编辑：

附上一张逼真的管道草图。

所以假设曲线没有像地狱那样摇摆不定，蓝线表示圆圈，红色表示中心点，绿色表示通过中心的路径。

Answer 1

1. 澄清

   管子各处都具有相同的圆形直径，因此不会因弯曲而变形！！！输入是 2 个端点（管的中心）P0,P1和 2 个向量（管的法线/方向）N0,N1

   

2. 解决方案

   使用插值三次例如这个

   p(t)=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t
   t=<0,1.0>
   

   因此，为已知数据编写方程，a0,a1,a2,a3为您需要的每个轴（2D: x,y）求解系数，然后您可以获得中心点及其法线沿弯曲侧的任何点，这正是您所需要的。

   现在一些通用方程：

   p(t)=a0+a1*t+     a2*t*t+     a3*t*t*t // circle center position
   n(t)=   a1   +2.0*a2*t   +3.0*a3*t*t   // circle orientation
   

   • p,n,a0,a1,a2,a3 是向量！！！
   • t 是标量

   现在添加已知数据

   I. t=0 -> p(0)=P0
   P0=a0
   a0=P0
   
   II. t=0 -> n(0)=N0
   N0=a1
   a1=N0
   
   III. t=1 -> p(1)=P1
   P1=a0+a1+a2+a3
   P1=P0+N0+a2+a3
   a2=P1-P0-N0-a3
   
   IV. t=1 -> n(1)=N1
   N1=a1+2.0*a2+3.0*a3
   N1=N0+2.0*(P1-P0-N0-a3)+3.0*a3
   a3=N1+N0-2.0*(P1-P0)
   
   III.
   a2=P1-P0-N0-(N1+N0-2.0*(P1-P0))
   a2=P1-P0-N0-N1-N0+2.0*(P1-P0)
   a2=P1-P0-N1+2.0*(P1-P0-N0)
   a2=3.0*(P1-P0)-N1-2.0*N0
   

   所以如果我没有犯任何愚蠢的错误，那么系数是：

   a0=P0
   a1=N0
   a2=3.0*(P1-P0)-N1-2.0*N0
   a3=N1+N0-2.0*(P1-P0)
   

   所以现在只需将通用方程编码到一些具有输入参数t和输出p(t)和n(t)/或渲染圆或管段的函数中，然后在 for 循环中调用它，例如像这样：

   for (t=0.0;t<=1.0;t+=0.1) f(t);
   

[edit1] C++ 实现

//---------------------------------------------------------------------------
void glCircle3D(double *pos,double *nor,double r,bool _fill)
    {
    int i,n=36;
    double a,da=divide(pi2,n),p[3],dp[3],x[3],y[3];
         if (fabs(nor[0]-nor[1])>1e-6) vector_ld(x,nor[1],nor[0],nor[2]);
    else if (fabs(nor[0]-nor[2])>1e-6) vector_ld(x,nor[2],nor[1],nor[0]);
    else if (fabs(nor[1]-nor[2])>1e-6) vector_ld(x,nor[0],nor[2],nor[1]);
    else                       vector_ld(x,1.0,0.0,0.0);
    vector_mul(x,x,nor);
    vector_mul(y,x,nor);
    vector_len(x,x,r);
    vector_len(y,y,r);
    if (_fill)
        {
        glBegin(GL_TRIANGLE_FAN);
        glVertex3dv(pos);
        }
    else glBegin(GL_LINE_STRIP);
    for (a=0.0,i=0;i<=n;i++,a+=da)
        {
        vector_mul(dp,x,cos(a)); vector_add(p,pos,dp);
        vector_mul(dp,y,sin(a)); vector_add(p,p  ,dp);
        glVertex3dv(p);
        }
    glEnd();
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void tube(double *P0,double *N0,double *P1,double *N1,double R)
    {
    int i;
    double a0[3],a1[3],a2[3],a3[3],p[3],n[3],t,tt,ttt;
    // compute coefficients
    for (i=0;i<3;i++)
        {
        a0[i]=P0[i];
        a1[i]=N0[i];
        a2[i]=(3.0*(P1[i]-P0[i]))-N1[i]-(2.0*N0[i]);
        a3[i]=N1[i]+N0[i]-2.0*(P1[i]-P0[i]);
        }
    // step through curve from t=0 to t=1
    for (t=0.0;t<=1.0;t+=0.02)
        {
        tt=t*t;
        ttt=tt*t;
        // compute circle position and orientation
        for (i=0;i<3;i++)
            {
            p[i]=a0[i]+(a1[i]*t)+(a2[i]*tt)+(a3[i]*ttt);
            n[i]=a1[i]+(2.0*a2[i]*t)+(3.0*a3[i]*tt);
            }
        // render it
        glCircle3D(p,n,R,false);
        }
    }
//---------------------------------------------------------------------------
void test()
    {
    // tube parameters
    double P0[3]={-1.0, 0.0, 0.0},N0[3]={+1.0,-1.0, 0.0},p[3];
    double P1[3]={+1.0,+1.0, 0.0},N1[3]={ 0.0,+1.0, 0.0};
    // just normalize normals to size 3.1415...
    vector_len(N0,N0,M_PI);
    vector_len(N1,N1,M_PI);
    // draw normals to visula confirmation of tube direction
    glBegin(GL_LINES);
    glColor3f(0.0,0.0,1.0); vector_add(p,P0,N0); glVertex3dv(P0); glVertex3dv(p);
    glColor3f(0.0,0.0,1.0); vector_add(p,P1,N1); glVertex3dv(P1); glVertex3dv(p);
    glEnd();
    // render tube
    glColor3f(1.0,1.0,1.0); tube(P0,N0,P1,N1,0.2);
    }
//---------------------------------------------------------------------------

从视觉上看，当法线具有一定大小时，它看起来最好，M_PI (3.1415...)这就是上面代码的外观：

我的代码使用我的矢量库，所以你只需要编写如下函数：

vector_ld(a,x,y,z); //a[]={ x,y,z }
vector_mul(a,b,c);  //a[]=b[] x c[]
vector_mul(a,b,c);  //a[]=b[] * c
vector_add(a,b,c);  //a[]=b[] + c[]
vector_sub(a,b,c);  //a[]=b[] - c[]
vector_len(a,b,c);  //a[]=b[]*  c / |b[]|

这很容易（希望我没有忘记复制一些东西......）......