数字的最小基数,使其在该基数中表示为回文

Question

给定一个整数x,我必须找到一个最小基数b(b> 1),使得x 基数 b是回文.

例如:5个碱基2是回文序列,即5个碱基2:101是回文结构.除了解决蛮力之外,如何以更好的方式解决它？

Answer 1

公平警告：这不是完整的答案，但有一些可能有用的注释。希望鉴于到目前为止问题和评论的非正统性质，没有人会对此感到太不安。:)

• 基地2
  • 11：3
  • 101：5（+2）d
  • 111：7（+2）2
  • 1001：9 (+2) 天
  • 1111：15（+6）2
  • 10001: 17 (+2) 天
  • 10101：21（+4）
  • 11011：27（+6）2
  • 11111：31（+4）
  • 100001：33（+2）天
  • 101101：45（+12）
  • 110011：51（+6）2
  • 111111：63（+12）
• 基地3
  • 11：4
  • 22：8（+4）1
  • 101：10（+2）天
  • 111：13（+3）
  • 121：16（+3）
  • 202：20（+4）1
  • 212：23（+3）
  • 222：26（+3）
  • 1001：28（+2）天
  • 1111：40（+12）
  • 1221：52（+12）
  • 2002年：56（+4）1
  • 2112：68（+12）
  • 2222：80（+12）
• 基地4
  • 11：5
  • 22：10（+5）1
  • 33：15（+5）1
  • 101：17（+2）d
  • 111：21（+4）
  • 121：25（+4）
  • 131：29（+4）
  • 202：34（+5）1
  • 212：38（+4）
  • 222：42（+4）
  • 232：46（+4）
  • 303：51（+5）1
  • 313：55（+4）
  • 323：59（+4）
  • 333：63（+4）

我将与之前的区别标记为 (+n) 并在最后添加了一些注释：

• 1：此处递增的第一个数字
• 2：这里增加第二个数字（我只将此标记为基数 2；它在其他地方似乎不相关）
• d：此处增加的位数（第一位数字重置为1）

一些结构观察：

• 基数中的第一个（最小）回文总是（基数+1）。我们不允许使用 1，也不允许使用任何前导零。
• (N < base) 的前 N ​​个回文是 N*(base+1)。
• 第 (base) 回文数始终比第 (base-1) 回文多 2（并且始终表示为 101）。
• 2 位回文数的个数为 (base-1)。
• 3 位和 4 位回文数的个数为 (base-1)*base。

最后，一些尚未成熟的想法：

• x 的回文表示的位数为 1+log_base(x)。
• 给定长度的第一个回文总是 10..01。
• 当末尾没有标记时（即当第一个数字和数字计数都不变时），您可以看到重复差异的模式。这可以让我们“快进”从 10..01 开始的候选回文。