从A [a,b]到A [c,d]的不同非循环路径的数量？

Question

我正在写一个sokoban求解器,用于娱乐和练习,它使用一种简单的算法(类似于BFS,有点不同).

现在我想估计它的运行时间(O和omega).但需要知道如何计算网络中从顶点到另一个的非循环路径的计数.实际上我想要一个表达式来计算有效路径的数量,在两个顶点之间的顶点.

有效路径:

• 访问每个顶点0或一次.
• 没有电路

例如,这是一个有效的路径:

替代文字http://megapic.ir/images/f1hgyp5yxcu8887kfvkr.png

但这不是:

alt text http://megapic.ir/images/wnnif13ir5gaqwvnwk9d.png

需要一种找到两个顶点a和b之间的所有非循环路径的计数的方法.

欢迎对解决方法和技巧的评论.

Answer 1

这不是一个解决方案，但也许你可以进一步思考这个想法。问题是您还需要计算最长的可能路径才能获得所有路径。对于一般图来说，最长路径问题是 NP 完全问题，因此即使对于相对较小的图（8x8 或更大）也会花费很长的时间。

想象一下起始顶点位于矩阵的左上角，结束顶点位于矩阵的右下角。

• 对于 1x2 矩阵，只有 1 条可能的路径
• 2x2 矩阵 => 2***1** 路径 => 2
• 3x2 矩阵 => 2***2** 路径 => 4
• 3x3 矩阵 => 2***4** + 2*2 路径 => 12
• 3x4 矩阵 => 2***12** + 12 + 2 条路径 => 38

每次我都会将先前计算的结果合并为当前路径数。对于这样的平面图，可能有一个紧密的公式，甚至可能有很多理论，但我太愚蠢了......

您可以使用以下 Java（抱歉，我不是 C++ 专家:-/）片段来计算较大矩阵的可能路径：

public static void main(String[] args) {
    new Main(3, 2).start();
}
int xSize;
int ySize;
boolean visited[][];

public Main(int maxX, int maxY) {
    xSize = maxX;
    ySize = maxY;
    visited = new boolean[xSize][ySize];
}

public void start() {
    // path starts in the top left corner
    int paths = nextCell(0, 0);
    System.out.println(paths);
}

public int nextCell(int x, int y) {
    // path should end in the lower right corner
    if (x == xSize - 1 && y == ySize - 1)
        return 1;

    if (x < 0 || y < 0 || x >= xSize || y >= ySize || visited[x][y]) {
        return 0;
    }

    visited[x][y] = true;
    int c = 0;
    c += nextCell(x + 1, y);
    c += nextCell(x - 1, y);
    c += nextCell(x, y + 1);
    c += nextCell(x, y - 1);
    visited[x][y] = false;
    return c;
}

=>

• 4x4 => 184
• 5x5 => 8512
• 6x6 => 1262816
• 7x7（即使是这个简单的情况也需要很多时间！）=> 575780564

这意味着您可以（仅在理论上）计算从 MxM 矩阵的任意位置到右下角的所有可能路径，然后使用该矩阵快速查找路径数。动态编程（使用之前的计算结果）可以稍微加快速度。