为什么 Python 的模运算符 (%) 与欧几里德定义不匹配？

Question

欧几里得的定义说，

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给定两个整数 a 和 b，且 b \xe2\x89\xa0 0，存在唯一整数 q 和 r，使得 a = bq + r 且 0 \xe2\x89\xa4 r < |b|，其中 |b| 表示b的绝对值。

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根据以下观察，

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>>> -3 % -2   # Ideally it should be (-2 * 2) + 1\n-1\n>>> -3 % 2    # this looks fine, (-2 * 2) + 1 \n1\n>>> 2 % -3    # Ideally it should be (-3 * 0) + 2\n-1\n

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看起来%运营商正在按照不同的规则运行。

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• link1没有帮助，
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• link2给出了递归答案，因为，由于我不明白如何%工作，所以很难理解如何 (a // b) * b + (a % b) == a工作
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我的问题：

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我如何理解Python中模运算符的行为？我不知道有关%操作员工作的任何其他语言。

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Answer 1

The History of Python的一篇文章解释了整数除法和模运算的行为，即：Why Python's Integer Division Floors。我将引用相关部分：

如果其中一个操作数为负，则结果取整，即从零开始舍入（向负无穷大舍入）：

>>> -5//2
-3
>>> 5//-2
-3

这让一些人感到不安，但有一个很好的数学原因。整数除法运算 ( //) 及其兄弟模运算 ( %) 一起满足良好的数学关系（所有变量都是整数）：

a/b = q与余数r

这样

b*q + r = a和0 <= r < b

（假设a和b是>= 0）。

如果你想让关系延伸为负数a（保持b 正数），你有两种选择：如果你q向零截断，r 就会变成负数，这样不变量就变成了，0 <= abs(r) 否则，你可以q向负无穷大下降，不变量仍然是0 <= r < b。

在数学数论中，数学家总是更喜欢后者（参见维基百科）。对于 Python，我做出了同样的选择，因为有一些有趣的模运算应用，其中 a 的符号并不有趣。[...] 顺便说一句，对于负 b，一切都会翻转，不变量变为：

0 >= r > b.

换句话说，Python 决定在某些情况下打破欧几里得定义，以便在有趣的情况下获得更好的行为。特别是负面的a被认为是有趣的，而负面的则不b被认为是有趣的。这是一个完全任意的选择，在语言之间不共享。

请注意，许多常见的编程语言（C，C ++，Java，...）不满足欧几里得不变量，通常比Python更多的情况（例如，即使b是正数）。其中一些甚至不提供有关余数符号的任何保证，将细节保留为实现定义的。

附带说明：Haskell 提供了模数和除法两种类型。标准欧几里得模数和除法称为rem和quot，而落地除法和“Python 风格”模数称为mod和div。