关于DB中的DBL_EPSILON和Machine-Epsilon的困惑

Question

Machine-Epsilon似乎有两个定义:

1. 将实数舍入到下一个浮点数时的最大相对误差.
2. 最小正数,使1.0 + machine_eps!= 1.0

首先,我没有看到这两者如何相关.在我的理解中,第二个DBL_EPSILON不符合定义2:

以下程序打印:

DBL_EPSILON:            2.220446049250313080847e-16
DBL_EPSILON / 2:        1.110223024625156540424e-16
1.0 + DBL_EPSILON:      1.000000000000000222045e+00
1.0 + DBL_EPSILON / 2:  1.000000000000000000000e+00

m_eps                   2.220446049250313080847e-16
m_eps -1u               2.220446049250312834328e-16

1.0 + m_eps -1u         1.000000000000000222045e+00

(m_eps -1u < DBL_EPSILON):     True
(m_eps -1u == DBL_EPSILON/2):  False

m_eps -1u应该是一个较小的数字,但真的很接近DBL_EPSILON.与Definiton 2)不应该1.0 + m_eps -1u评价1.0？为什么有必要为此减去DBL_EPSILON2？

#include <stdout.h>
#include <stdint.h>
#inlcude <float.h>

union Double_t {
    double f;
    int64_t i;
};

int main(int argc, char *argv[])
{
    union Double_t m_eps;

    printf("DBL_EPSILON: \t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, DBL_EPSILON);
    printf("DBL_EPSILON / 2: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, DBL_EPSILON / 2);

    printf("1.0 + DBL_EPSILON: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + DBL_EPSILON);
    printf("1.0 + DBL_EPSILON / 2: \t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + DBL_EPSILON / 2);

    m_eps.f = DBL_EPSILON;
    printf("\nm_eps \t\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, m_eps.f);

    m_eps.i -= 1;
    printf("m_eps -1u\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, m_eps.f);
    printf("\n1.0 + (m_eps -1u)\t\t%.*e\n", DECIMAL_DIG, 1.0 + m_eps.f);

    printf("\n(m_eps -1u < DBL_EPSILON): %s\n",
            (m_eps.f < DBL_EPSILON) ? "True": "False"
            );

    printf("(m_eps -1u == DBL_EPSILON/2): %s\n",
            (DBL_EPSILON/2 == m_eps.f) ? "True": "False"
            );
    return 0;
}

Answer 1

一个错误的定义DBL_EPSILON,你引用的那个"最小正数,使得1.0 + machine_eps!= 1",正在浮动.您甚至可以在标准库中找到它,也可以在StackOverflow上以其他方式找到答案.当在标准库中找到它时,它在一个值附近的注释中显然与注释不对应,但对应于正确的定义:

DBL_EPSILON:这是1和double大于1的最小浮点数之间的差异.(从GNU C库中获取正确的定义)

C99标准用这种方式表达:

在给定浮点类型中可表示的1和最小值之间的差值,b ^(1-p)

这可能是您混淆的原因.忘记错误的定义.我在这里写了一个关于这个的咆哮(这非常像你的问题).

您的问题中的另一个定义"将实数舍入到下一个浮点数时的最大相对误差"是正确的 - 当舍入的结果是正常的浮点数时.将实数舍入到有限浮点数会产生实数值的1/2 ULP内的浮点数.对于正常的浮点数,此1/2 ULP绝对误差转换为DBL_EPSILON/2和DBL_EPSILON/4之间的相对误差,具体取决于浮点数位于其binade中的位置.