有效四元数角速度

Question

我的方向用四元数表示，角速度表示为四元数或数字（围绕原始方向的弧度/秒）。我知道如何使用转换为轴角的方法来做到这一点，但是该方法在计算上相当昂贵，而且不是现实的选择。给定时间间隔（以秒为单位），我将如何修改方向四元数？我需要两种情况（四元数和数字）的解决方案。但是，将一种情况转换为另一种情况是可以接受的，并且可能会更好，具体取决于转换所需的各种算法/公式的计算复杂性。

Answer 1

要更新方向，您需要将当前方向乘以增量旋转。与轴角度转换相比，这是可比的昂贵操作。

表示角速度的常见方法是与旋转轴和旋转速度（弧度/秒）平行的3d向量中的“指数图”。转换为增量旋转四元数看起来像

Quaternion deltaRotation(const Vector3& em, double deltaTime)
{
   Quaternion q;
   Vector3 ha = em * deltaTime *0.5; // vector of half angle
   double l = ha.norm(); // magnitude
   if( l > 0 )
   {
      double ss = sin(l)/l;
      q = Quaternion(cos(l), ha.x()*ss, ha.y()*ss, ha.z()*ss);
   }else{
      q = Quaternion(1.0, ha.x(), ha.y(), ha.z());
   }

   return q;
}

如果您的deltaTime小且转速小，则可以使用1st Taylor级数乘数的近似值。但是您应该对结果四元数进行归一化，以避免更多的数值不稳定。

Quaternion deltaRotationAppx1(const Vector3& em, double deltaTime)
    {
       Vector3 ha = em * deltaTime *0.5; // vector of half angle
       return Quaternion(1.0, ha.x(), ha.y(), ha.z());
    }