当p> n时,sklearn如何进行线性回归？

Question

众所周知,当变量(p)的数量大于样本数量(n)时,未定义最小二乘估计量.

在sklearn中,我收到了以下值:

In [30]: lm = LinearRegression().fit(xx,y_train)

In [31]: lm.coef_
Out[31]: 
array([[ 0.20092363, -0.14378298, -0.33504391, ..., -0.40695124,
         0.08619906, -0.08108713]])

In [32]: xx.shape
Out[32]: (1097, 3419)

调用[30]应该返回错误.在这种情况下,当p> n时,sklearn如何工作？

编辑:似乎矩阵充满了一些值

if n > m:
        # need to extend b matrix as it will be filled with
        # a larger solution matrix
        if len(b1.shape) == 2:
            b2 = np.zeros((n, nrhs), dtype=gelss.dtype)
            b2[:m,:] = b1
        else:
            b2 = np.zeros(n, dtype=gelss.dtype)
            b2[:m] = b1
        b1 = b2

Answer 1

当线性系统不确定时,则sklearn.linear_model.LinearRegression找到最小L2范数解,即

argmin_w l2_norm(w) subject to Xw = y

通过应用Xto 的伪逆y,即,总是很好地定义和获得

w = np.linalg.pinv(X).dot(y)

用法使用的具体实现scipy.linalg.lstsq,它恰好是通过奇异值分解找到最小范数解的求解器(由LAPACK提供).LinearRegressionget_lapack_funcs(('gelss',), ...

看看这个例子

import numpy as np
rng = np.random.RandomState(42)
X = rng.randn(5, 10)
y = rng.randn(5)

from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr = LinearRegression(fit_intercept=False)
coef1 = lr.fit(X, y).coef_
coef2 = np.linalg.pinv(X).dot(y)

print(coef1)
print(coef2)

你会看到的coef1 == coef2.(注意,这fit_intercept=False是在sklearn估计器的构造函数中指定的,否则它会在拟合模型之前减去每个特征的平均值,从而产生不同的系数)