简单的浮点数会失去精度

Question

我正在使用Delphi XE2 Update 3.即使是最简单的浮点数(如3.7)也存在精度问题.鉴于此代码(32位控制台应用程序):

program Project1;

{$APPTYPE CONSOLE}
{$R *.res}

uses System.SysUtils;

var s: Single; d: Double; x: Extended;
begin
  Write('Size of Single  -----  ');  Writeln(SizeOf(Single));
  Write('Size of Double  -----  ');  Writeln(SizeOf(Double));
  Write('Size of Extended  ---  ');  Writeln(SizeOf(Extended));  Writeln;

  s := 3.7;  d := 3.7;  x := 3.7;

  Write('"s" is ');                  Writeln(s);
  Write('"d" is ');                  Writeln(d);
  Write('"x" is ');                  Writeln(x);                 Writeln;

  Writeln('Single Comparison');
  Write('"s > 3.7"  is  ');          Writeln(s > 3.7);
  Write('"s = 3.7"  is  ');          Writeln(s = 3.7);
  Write('"s < 3.7"  is  ');          Writeln(s < 3.7);           Writeln;

  Writeln('Double Comparison');
  Write('"d > 3.7"  is  ');          Writeln(d > 3.7);
  Write('"d = 3.7"  is  ');          Writeln(d = 3.7);
  Write('"d < 3.7"  is  ');          Writeln(d < 3.7);           Writeln;

  Writeln('Extended Comparison');
  Write('"x > 3.7"  is  ');          Writeln(x > 3.7);
  Write('"x = 3.7"  is  ');          Writeln(x = 3.7);
  Write('"x < 3.7"  is  ');          Writeln(x < 3.7);           Readln;
end.

我得到这个输出:

Size of Single  -----  4
Size of Double  -----  8
Size of Extended  ---  10

"s" is  3.70000004768372E+0000
"d" is  3.70000000000000E+0000
"x" is  3.70000000000000E+0000

Single Comparison
"s > 3.7"  is  TRUE
"s = 3.7"  is  FALSE
"s < 3.7"  is  FALSE

Double Comparison
"d > 3.7"  is  TRUE
"d = 3.7"  is  FALSE
"d < 3.7"  is  FALSE

Extended Comparison
"x > 3.7"  is  FALSE
"x = 3.7"  is  TRUE
"x < 3.7"  is  FALSE

您可以看到extended唯一正确评估的类型.我认为使用复杂的浮点数时精度只是一个问题3.14159265358979323846,而不是像它那样简单3.7.使用时的问题single是有道理的.但为什么不起作用double？

Answer 1

所需阅读:每个计算机科学家应该知道的关于浮点算术的内容,David Goldberg.

这个问题不是精确问题.相反,问题是可表示性问题.首先,让我们重新说明浮点数用于表示实数.有无穷无尽的实数.当然,整数也是如此.但是这里的区别在于,在特定范围内,存在有限数量的整数但是具有无限数量的实数.实际上,正如康托尔最初所示,任何有限的实数区间都包含无数个实数值.

很明显,我们无法在有限的机器上表示所有实数.那么,我们可以代表哪些数字？那么,这取决于数据类型.Delphi浮点数据类型使用二进制表示.单(32位)和双(64位)类型符合IEEE-754标准.扩展(80位)类型是Intel特定类型.在二进制浮点中,可表示的数字具有形式k2 ⁿ,其中k和n是整数.请注意,我并未声称此表单的所有数字均可表示.这是不可能的,因为有无限数量的这种数字.相反,我的观点是所有可表示的数字都是这种形式.

可表示的二进制浮点数的一些示例包括:1,0.5,0.25,0.75,1.25,0.125,0.375.您的值3.7不能表示为二进制浮点值.

与代码相关的含义是,它没有按照您的预期执行.您希望与3.7的值进行比较.但相反,您将与最接近的完全可表示的值进行比较,以达到3.7.作为实现细节的问题,这个最接近的可表示的值是在扩展精度的上下文中.这就是为什么使用扩展的版本看起来像你期望的那样.但是,不要认为这意味着您的变量x等于3.7.实际上,它等于最接近的可表示的扩展精度值为3.7.

Rob Kennedy 最有用的网站可以显示与特定数字最接近的可表示值.在3.7的情况下,这些是:

3.7 = + 3.70000 00000 00000 00004 33680 86899 42017 73602 98112 03479 76684 57031 25
3.7 = + 3.70000 00000 00000 17763 56839 40025 04646 77810 66894 53125
3.7 = + 3.70000 00476 83715 82031 25

这些按扩展,双,单的顺序显示.换句话说,这些是你的变量的值x,d并s分别.

如果您查看这些值,并将它们与最接近扩展到3.7的值进行比较,您将看到为什么程序会生成它所做的输出.这里的单精度值和双精度值都大于扩展值.这是你的程序告诉你的.

我不想就如何比较浮点值提出任何建议.这样做的最佳方式总是非常关键地取决于具体问题.没有全面的建议可以提供.

Answer 2

简短回答:0.7无法准确表示(二进制浮点值总是分数,分母为2的幂); 您存储它的数据类型的精度(以及编译器为您要比较的常量类型选择的精度)会影响该数字的表示形式并对比较产生影响.

道德:永远不要直接比较两个浮点值的相等性,除非它们的数据类型完全相同并且分配了相同的精确值.

强制性链接:每个计算机科学家应该知道的浮点运算

另一个可能有用的链接是Delphi的Math.SameValue函数,它允许您根据特定的允许增量(差异)比较两个浮点值的近似相等性.