如何将曲线拟合到直方图分布？

Question

前几天有人通过电子邮件向我询问了一个关于整数分区的问题(因为我发布了一个Perl模块,Integer :: Partition来生成它们),我无法回答.

背景:这里是7的所有整数分区(每行的总和等于7).

7
6 1
5 2
5 1 1
4 3
4 2 1
4 1 1 1
3 3 1
3 2 2
3 2 1 1
3 1 1 1 1
2 2 2 1
2 2 1 1 1
2 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

现在,如果我们查看每个分区的长度并计算每个分区的长度:

1 1
2 3
3 4
4 3
5 2
6 1
7 1

...我们看到一个分区的长度为1(7),一个分区的长度为7(1 1 1 1 1 1 1).有4个分区长度为3:(5 1 1),(4 2 1),(3 3 1),(3 2 2).

对于较大数量的N,如果绘制分区长度的分布图,则会出现不对称曲线,偏向原点.如果您感到好奇,请将以下分区长度计为N = 40.

1 20 133 478 1115 1945 2738 3319 3589 3590 3370 3036 2637 2241 1861 1530 1236 995 790 627 490 385 297 231 176 135 101 77 56 42 30 22 15 11 7 5 3 2 1 1

如果您对生成这些分配计数感兴趣,请使用以下代码:

#! /usr/local/bin/perl

use strict;
use warnings;

use Integer::Partition;

my $n = shift || 1;

while (1) {
    my $start = time;
    my $i = Integer::Partition->new($n);
    my %size;
    while (my $p = $i->next) {
        $size{scalar @$p}++;
    }

    open my $out, '>>', "bucket-count.out";
    for my $s (sort {$a <=> $b} keys %size) {
        print $out "$n\t$s\t$size{$s}\n";
    }
    close $out;
    my $delta = time - $start;
    print "$n\t$delta secs\n";
    ++$n;
}

(注意:在我的电脑上,N = 90需要大约10分钟才能生成).

所以我的问题是:可以使用哪个方程来匹配观察到的分布曲线？它是高斯(高斯分布可以是不对称的吗？)还是泊松分布,还是别的什么？

我如何解决N？如果我记得高中时的数学,我可以通过求解导数与0相交来确定峰值.如何产生导数？我在网上搜索过,但我得到的只是深奥的数学论文.我只需要一些代码:)

Answer 1

我认为泊松分布是一个合理的估计。鉴于这一假设，你的问题现在变成了在给定 N 的情况下找到最大频率 k 之一。我认为你有两种方法：

1. 从数学的角度弄清楚（我会从组合数学开始，但这可能不是一个特别好的指导）
2. 假设它是泊松分布并测量任何给定 N 的峰值，如上面所述。

一旦获得峰值 (k)，估计 lambda 应该很简单（尝试一些）并且您就得到了曲线。

另一种方法是在 python 中完成整个工作并在 numpy 或 scipy 板上询问:-)

华泰