这通常不是真的。仅对于具有以下属性的 CRC：一串零的 CRC 始终为零。（这个属性很容易从你的方程中推导出来。）大多数 CRC 都有预处理和后处理，预处理的目的之一是确保情况并非如此。您不希望检查算法无法区分一串零中有多少个零。同样，对于这样的检查算法，您可以在消息前面添加任意数量的零，而不改变检查值。
没有预处理或后处理的“纯”CRC确实具有您定义的线性属性。这可以通过查看 CRC 寄存器实现对单个位执行的操作以及反转该位后它如何变化来看出。寄存器一端滚出的一位（由输入另一端的位确定）确定寄存器是否与多项式字进行异或运算。如果该位被反转，则会推翻该决定。所以这两个 CRC 的异或就是多项式字。如果将单个一位输出到初始化为零的寄存器一端（这是无预处理很重要的地方），您将得到多项式字。因此消息的异或 CRC 等于 CRC 的异或。然后，通过一次一位地应用这一发现，将其扩展到所有位。