以有限的速度求解时间加速度

Question

我正在使用Excel中的计算器进行星际旅行.我正在解决加速到达时间的等式,如下所示:

=sqrt(distance*2/acceleration)

这似乎对我来说很好,除了如果我给它一个足够大的加速度和足够长的距离,我得到的最大速度高于光速.

我想要做的是在公式中添加一些限制因素,将速度限制在某个数字,但我不知道如何在数学中做到这一点(免责声明:我是一个作家和艺术家,所以我很擅长数学).我想我需要集成像V=min(C,d/t)C这样光速的东西,但我不知道如何将它集成到我的函数中.由于其余的工作无需绘制时间段,我更喜欢公式中的解决方案,而不是一些迂回的递归图表欺骗.有任何想法吗？

Answer 1

正确的解决方案当然是在"恒定加速度"(当你接近光速时不存在)时使用速度的相对论方程.我怀疑你的意思是"持续的明显加速度"(火箭中的乘客感觉如何).在那种情况下,相对论,

v = c * tanh(asinh(F*t/m*c))

哪里

v = velocity
F = force
t = time
m = mass
c = speed of light

然后你可以F = m * a这样写acceleration = F / m

您可以在Excel中编写(在定义常量C_ = 3E8之后)

= C_ * TANH(ASINH(acceleration*time/C_)

这将最初为您提供预期的线性加速度 - 然后它将逐渐变细并且永远不会达到光速:

在我看来,这个等式对于你的特定应用来说是"正确的" - 你并不是真的想要超精确,只是拥有至少不比光速更快的东西,并且过渡平稳.实际上,火箭发动机可以在这些非常高的速度下做什么,火箭的质量如何变化 - 所有这些都使数学变得更加复杂.

更新如果你想获得如上所述的结果,但只有"距离"和"加速度",我们需要有点棘手.当然,距离取决于你的参照系 - 对于火箭中的人和静止的观察者而言,距离是不同的.因此,我们将把"真实的物理学"扔出窗外一分钟,然后再做一些事情.我的情节中的直线红线表示"如果你继续加速你的速度会有多快" - 这是你初步计算的速度.

您可以通过简单的方式将其转换为"真实"速度

limitedVelocity = C_ * TANH(ASINH(calculatedVelocity / C_))

这更符合你提出的问题,并允许你留在你所拥有的框架中(你知道"加速"和"距离" - 无论你的世界是什么意思.)

相对论.打击你的心灵.

事后

加速太空船处于非惯性参照系中.板上的时钟以与"宇宙中的时钟"不同的速度(较慢)运行.在飞船内部,到目的地的距离似乎缩小(洛伦兹收缩),因为它们走得更快.所有这些意味着"实际"计算取决于问题中未明确说明的因素和假设.但由于这是一个自称为非物理学家的"星际旅行计算器",我认为最好不要把它变成第二年的广义相对论物理课程.