求解Julia中n阶多项式根的通用函数

Question

所有,

我刚刚开始玩朱莉娅语,我很享受它.在第3个教程结束时,有一个有趣的问题:对二次公式进行泛化,使其解决任何n阶多项式方程的根.

这让我感到震惊,因为(a)一个有趣的编程问题和(b)一个有趣的Julia问题.谁有人解决了这个？作为参考,这里是带有几个玩具示例的Julia代码.同样,这个想法是为任何n阶多项式制作这个通用的.

干杯,

亚伦

function derivative(f)
    return function(x)
        # pick a small value for h
        h = x == 0 ? sqrt(eps(Float64)) : sqrt(eps(Float64)) * x

        # floating point arithmetic gymnastics
        xph = x + h
        dx = xph - x

        # evaluate f at x + h
        f1 = f(xph)

        # evaluate f at x
        f0 = f(x)

        # divide the difference by h
        return (f1 - f0) / dx
    end
end


function quadratic(f)

    f1 = derivative(f)

    c = f(0.0)

    b = f1(0.0)

    a = f(1.0) - b - c

    return (-b + sqrt(b^2 - 4a*c + 0im))/2a, (-b - sqrt(b^2 - 4a*c + 0im))/2a
end

quadratic((x) -> x^2 - x - 2)
quadratic((x) -> x^2 + 2)

Answer 1

该包提供了查找任意阶多项式的所有（实数和复数）根的PolynomialRoots.jl函数。roots()唯一的强制参数是包含多项式系数按升序排列的数组。

例如，为了找到根

6x^5 + 5x^4 + 3x^2 + 2x + 1

加载包（using PolynomialRoots）后您可以使用

6x^5 + 5x^4 + 3x^2 + 2x + 1

该包是本文中描述的寻根算法的 Julia 实现：http://arxiv.org/abs/1203.1034

PolynomialRoots.jl还支持任意精度计算。这对于求解无法以双精度求解的方程非常有用。例如

julia> roots([1, 2, 3, 4, 5, 6])
5-element Array{Complex{Float64},1}:
           0.294195-0.668367im
 -0.670332+2.77556e-17im
           0.294195+0.668367im
          -0.375695-0.570175im
          -0.375695+0.570175im

给出多项式的错误结果，而是以任意精度传递输入数组，强制提供正确答案的任意精度计算（请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance）：

julia> r = roots([94906268.375, -189812534, 94906265.625]);

julia> (r[1], r[2])
(1.0000000144879793 - 0.0im,1.0000000144879788 + 0.0im)