将函数应用于ndarray的每一行

Question

我有这个函数来计算向量x的平方Mahalanobis距离意味着:

def mahalanobis_sqdist(x, mean, Sigma):
   '''
    Calculates squared Mahalanobis Distance of vector x 
    to distibutions' mean 
   '''
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = x - mean
   sqmdist = np.dot(np.dot(xdiff, Sigma_inv), xdiff)
   return sqmdist

我有一个形状为的numpy数组(25, 4).所以,我想在没有for循环的情况下将该函数应用于我的数组的所有25行.那么,基本上,我该如何编写这个循环的矢量化形式:

for r in d1:
    mahalanobis_sqdist(r[0:4], mean1, Sig1)

在哪里mean1和Sig1是:

>>> mean1
array([ 5.028,  3.48 ,  1.46 ,  0.248])
>>> Sig1 = np.cov(d1[0:25, 0:4].T)
>>> Sig1
array([[ 0.16043333,  0.11808333,  0.02408333,  0.01943333],
       [ 0.11808333,  0.13583333,  0.00625   ,  0.02225   ],
       [ 0.02408333,  0.00625   ,  0.03916667,  0.00658333],
       [ 0.01943333,  0.02225   ,  0.00658333,  0.01093333]])

我尝试过以下但是没有用:

>>> vecdist = np.vectorize(mahalanobis_sqdist)
>>> vecdist(d1, mean1, Sig1)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/numpy/lib/function_base.py", line 1862, in __call__
    theout = self.thefunc(*newargs)
  File "<stdin>", line 6, in mahalanobis_sqdist
  File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/numpy/linalg/linalg.py", line 445, in inv
    return wrap(solve(a, identity(a.shape[0], dtype=a.dtype)))
IndexError: tuple index out of range

Answer 1

要将函数应用于数组的每一行,您可以使用:

np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, d1, mean1, Sig1)    

然而,在这种情况下,有一种更好的方法.您不必将函数应用于每一行.相反,您可以将NumPy操作应用于整个d1数组以计算相同的结果.np.einsum可以替换for-loop和两个调用np.dot:

def mahalanobis_sqdist2(d, mean, Sigma):
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = d - mean
   return np.einsum('ij,im,mj->i', xdiff, xdiff, Sigma_inv)

以下是一些基准测试:

import numpy as np
np.random.seed(1)

def mahalanobis_sqdist(x, mean, Sigma):
   '''
   Calculates squared Mahalanobis Distance of vector x 
   to distibutions mean 
   '''
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = x - mean
   sqmdist = np.dot(np.dot(xdiff, Sigma_inv), xdiff)
   return sqmdist

def mahalanobis_sqdist2(d, mean, Sigma):
   Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
   xdiff = d - mean
   return np.einsum('ij,im,mj->i', xdiff, xdiff, Sigma_inv)

def using_loop(d1, mean, Sigma):
    expected = []
    for r in d1:
        expected.append(mahalanobis_sqdist(r[0:4], mean1, Sig1))
    return np.array(expected)

d1 = np.random.random((25,4))
mean1 = np.array([ 5.028,  3.48 ,  1.46 ,  0.248])
Sig1 = np.cov(d1[0:25, 0:4].T)

expected = using_loop(d1, mean1, Sig1)
result = np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, d1, mean1, Sig1)
result2 = mahalanobis_sqdist2(d1, mean1, Sig1)
assert np.allclose(expected, result)
assert np.allclose(expected, result2)

In [92]: %timeit mahalanobis_sqdist2(d1, mean1, Sig1)
10000 loops, best of 3: 31.1 µs per loop
In [94]: %timeit using_loop(d1, mean1, Sig1)
1000 loops, best of 3: 569 µs per loop
In [91]: %timeit np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, d1, mean1, Sig1)
1000 loops, best of 3: 806 µs per loop

因此mahalanobis_sqdist2比a快约18 for-loop倍,比使用快26倍np.apply_along_axis.

需要注意的是np.apply_along_axis,np.vectorize,np.frompyfunc是Python的实用功能.在引擎盖下他们使用for-或while-loops.这里没有真正的"矢量化".他们可以提供语法帮助,但不要指望他们让你的代码比for-loop你自己写的更好.

Answer 2

@unutbu的答案非常适合将任何函数应用于数组的行.在这种特殊情况下,您可以使用一些数学对称性,如果您使用大型数组,这将大大加快速度.

以下是您的功能的修改版本:

def mahalanobis_sqdist3(x, mean, Sigma):
    Sigma_inv = np.linalg.inv(Sigma)
    xdiff = x - mean
    return (xdiff.dot(Sigma_inv)*xdiff).sum(axis=-1)

如果您最终使用任何类型的大型Sigma,我建议您缓存Sigma_inv并将其作为参数传递给您的函数.由于在这个例子中它是4x4,这没关系.Sigma无论如何,我会向其他遇到此问题的人展示如何处理大型广告.

如果您不打算Sigma重复使用相同的,则无法对其进行缓存,因此,您可以使用不同的方法来解决线性系统,而不是反转矩阵.在这里,我将使用SciPy内置的LU分解.如果列数x相对于其行数较大,则这仅改善了时间.

这是一个显示该方法的函数:

from scipy.linalg import lu_factor, lu_solve
def mahalanobis_sqdist4(x, mean, Sigma):
    xdiff = x - mean
    Sigma_inv = lu_factor(Sigma)
    return (xdiff.T*lu_solve(Sigma_inv, xdiff.T)).sum(axis=0)

这是一些时间安排.我将包含einsum其他答案中提到的版本.

import numpy as np
Sig1 = np.array([[ 0.16043333,  0.11808333,  0.02408333,  0.01943333],
                 [ 0.11808333,  0.13583333,  0.00625   ,  0.02225   ],
                 [ 0.02408333,  0.00625   ,  0.03916667,  0.00658333],
                 [ 0.01943333,  0.02225   ,  0.00658333,  0.01093333]])
mean1 = np.array([ 5.028,  3.48 ,  1.46 ,  0.248])
x = np.random.rand(25, 4)
%timeit np.apply_along_axis(mahalanobis_sqdist, 1, x, mean1, Sig1)
%timeit mahalanobis_sqdist2(x, mean1, Sig1)
%timeit mahalanobis_sqdist3(x, mean1, Sig1)
%timeit mahalanobis_sqdist4(x, mean1, Sig1)

赠送:

1000 loops, best of 3: 973 µs per loop
10000 loops, best of 3: 36.2 µs per loop
10000 loops, best of 3: 40.8 µs per loop
10000 loops, best of 3: 83.2 µs per loop

但是,更改所涉及的阵列的大小会更改计时结果.例如,让x = np.random.rand(2500, 4)时间,时间是:

10 loops, best of 3: 95 ms per loop
1000 loops, best of 3: 355 µs per loop
10000 loops, best of 3: 131 µs per loop
1000 loops, best of 3: 337 µs per loop

让x = np.random.rand(1000, 1000),Sigma1 = np.random.rand(1000, 1000)和mean1 = np.random.rand(1000),时间是:

1 loops, best of 3: 1min 24s per loop
1 loops, best of 3: 2.39 s per loop
10 loops, best of 3: 155 ms per loop
10 loops, best of 3: 99.9 ms per loop

编辑:我注意到其他一个答案使用了Cholesky分解.鉴于这Sigma是对称和肯定的,我们实际上可以比上面的结果做得更好.通过SciPy可以获得BLAS和LAPACK的一些很好的例程,可以使用对称正定矩阵.这是两个更快的版本.

from scipy.linalg.fblas import dsymm
def mahalanobis_sqdist5(x, mean, Sigma_inv):
    xdiff = x - mean
    Sigma_inv = la.inv(Sigma)
    return np.einsum('...i,...i->...',dsymm(1., Sigma_inv, xdiff.T).T, xdiff)
from scipy.linalg.flapack import dposv
def mahalanobis_sqdist6(x, mean, Sigma):
    xdiff = x - mean
    return np.einsum('...i,...i->...', xdiff, dposv(Sigma, xdiff.T)[1].T)

第一个仍然反转Sigma.如果你预先计算逆并重复使用它,它会快得多(1000x1000的情况在我的机器上需要35.6ms,并带有预先计算的逆).我还使用einsum取出产品然后沿最后一个轴求和.这最终比做类似的事情要快一些(A * B).sum(axis=-1).这两个函数给出以下时间:

第一个测试用例:

10000 loops, best of 3: 55.3 µs per loop
100000 loops, best of 3: 14.2 µs per loop

第二个测试案例:

10000 loops, best of 3: 121 µs per loop
10000 loops, best of 3: 79 µs per loop

第三个测试用例:

10 loops, best of 3: 92.5 ms per loop
10 loops, best of 3: 48.2 ms per loop

Answer 3

刚看到reddit上的一个非常好的评论,可能会加快速度:

对于经常使用numpy的人来说,这并不奇怪.因为python中的循环非常慢.实际上,einsum也很慢.如果你有很多向量,那么这个版本会更快(4个维度中的500个向量足以使这个版本比我机器上的einsum更快):

def no_einsum(d, mean, Sigma):
    L_inv = np.linalg.inv(numpy.linalg.cholesky(Sigma))
    xdiff = d - mean
    return np.sum(np.dot(xdiff, L_inv.T)**2, axis=1)

如果你的点也是高维的,那么计算逆是很慢(并且通常是一个坏主意)并且你可以通过直接求解系统来节省时间(250个维度中的500个向量足以使这个版本在我的机器上最快):

def no_einsum_solve(d, mean, Sigma):
    L = numpy.linalg.cholesky(Sigma)
    xdiff = d - mean
    return np.sum(np.linalg.solve(L, xdiff.T)**2, axis=0)