随机散乱数据到三维均匀网格的插值和外推

Question

我有一个256 x 256 x 32网格的规则间隔点,范围在x,y和z以及相关的变量"a".我还在一个更有限的x,y,z空间中有一组随机分散的点,并带有一个相关的变量"b".我本来想要做的是插入并将我的随机数据外推到与"a"立方体匹配的规则间隔网格,如下所示:

到目前为止,我已经使用了scipy的griddata来实现插值,这似乎工作得很好,但它无法处理外推(据我所知)并且输出会急剧截断为'nan'值.在研究这个问题的同时,我遇到了一些人第二次使用griddata并使用'nearest'作为插值方法来填充'nan'值.我尝试了这个,但结果似乎不可靠.如果我使用具有"线性"模式的fill_Value,则会获得更合适的效果,但此时它更像是一个软糖,因为fill_Value必须是常量.

我注意到MATLAB有一个ScatteredInterpolant类似乎可以做我想要的,但我无法在Python中找到一个等效的类,也没有弄清楚如何在3D中有效地实现这样的例程.任何帮助是极大的赞赏.

我用于插值的代码如下:

x, y, z, b = np.loadtxt(scatteredfile, unpack = True)

# Create cube to match aCube dimensions
xi = np.linspace(-xmax_aCube, xmax_aCube, 256)
yi = np.linspace(-ymax_aCube, ymax_aCube, 256)
zi = np.linspace(zmin_aCube, zmax_aCube, 32)

# Interpolate scattered points
X, Y, Z = np.meshgrid(xi, yi, zi)
bCube = griddata((x, y, z), b, (X, Y, Z), method = 'linear')    

Answer 1

这个讨论适用于任何维度。对于您的 3D 案例，让我们先谈谈计算几何，以了解为什么部分区域NaN从griddata.

体积中的分散点构成一个凸包；具有以下属性的几何形状：

• 表面总是凸的（顾名思义）
• 在不违反凸性的情况下，形状的体积尽可能小
• 表面（在 3d 中）被三角化和封闭

不太正式，凸包（您可以使用 scipy 轻松计算）就像在框架上拉伸气球，其中框架角是分散簇的最外点。

在气球内的常规网格位置，您被已知点包围。您可以插入到这些位置。在它之外，你必须推断。

外推很难。没有关于如何去做的一般规则......它是特定于问题的。在那个区域，算法会griddata 选择返回NaN——这是通知科学家他/她必须选择一种合理的推断方式的最安全方式。

让我们通过一些方法来做到这一点。

1. [最糟糕] 搞砸了

在船体外分配一些标量值。在 numpy 文档中，您将看到这是通过以下方式完成的： s = mean(b) bCube = griddata((x, y, z), b, (X, Y, Z), method = 'linear', fill_value=s )

缺点：这会在船体边界的内插场中产生明显的不连续性，严重偏置平均标量场值并且不尊重数据的函数形式。

2. [NEXT WORST]“混合拙劣”

假设您在域的角落应用了一些值。这可能是与散点相关的标量场的平均值。

抱歉，这是伪代码，因为我根本不使用 numpy，但它可能相当清楚

# With a unit cube, and selected scalar value
x, y, z, b = np.loadtxt(scatteredfile, unpack = True)
s = mean(b)
x.append([0 0 0 0 1 1 1 1])
y.append([0 0 1 1 0 0 1 1])
z.append([0 1 0 1 0 1 0 1])
b.append([s s s s s s s s])
# drop in the rest of your code

缺点：这会在船体边界处产生内插场梯度的急剧不连续性，相当严重地偏置平均标量场值并且不尊重数据的函数形式。

3. [STILL PRETTY BAD] 最近的邻居

对于每个常规 NaN 点，找到最近的非 NaN 并分配该值。这是有效且稳定的，但很粗糙，因为您的场最终可能会出现图案特征（例如从船体辐射出的条纹或光束），通常在视觉上没有吸引力，或者更糟糕的是，在数据平滑度方面是不可接受的

根据数据的密度，您可以使用最近的分散数据点而不是最近的非 NaN 常规点。这可以通过（再次，伪代码）简单地完成：

bCube = griddata((x, y, z), b, (X, Y, Z), method = 'linear', fill_value=nan)
bCubeNearest = griddata((x, y, z), b, (X, Y, Z), method = 'nearest')
indicesMask = isNan(bCube)
# Use nearest interpolation outside the hull, keeping linear interpolation inside.
bCube(indicesMask) = bCubeNearest(indicesMask)

使用 MATLAB 的基于 delaunay 的方法将揭示在单行中实现类似的更强大的方法，但 numpy 在这里看起来有点受限。

4. [并不总是很糟糕] 自然加权

对于本节中的糟糕解释表示歉意，我从未编写过算法，但我相信对自然邻居技术的一些研究会让你走得更远

使用带有一些参数的距离加权函数D，该参数可能与您的盒子的长度相似或两倍（比如说）。你可以调整。对于每个 NaN 位置，计算到每个分散点的距离。

# Don't do it this way for anything but small matrices - this is O(NM) 
# and it can be done much more effectively (e.g. MATLAB has a quick 
# natural weighting option), but for illustrative purposes:
for each NaN point 1:N
    for each scattered point 1:M
        calculate a basis function using inverse distance from NaN to point, normalised on D, and store in a [1 x M] vector of weights
Multiply weights by the b value, summate and divide by M   

您基本上希望最终得到一个函数，该函数在距船体距离 D 处平滑地达到 B 的平均强度，但与边界处的船体重合。远离边界，它在其最近的点上的权重最大。

优点：非常稳定且相当连续。由于加权，单个数据点的噪声比最近的邻居更有弹性。

5.【HEROIC ROCKSTAR】功能形式假设

你对物理学了解多少？假设一个函数形式代表你期望物理做的事情，然后对分散的数据进行该形式的最小二乘（或某种等效）拟合。使用该函数来稳定外推。

一些可以帮助您构建函数的好主意：

• 你期望对称性还是周期性？
• ba 分量是具有零散度等属性的矢量场吗？
• 方向性：您是否希望所有角落都相同？或者可能是一个方向的线性变化？
• 场 b 是否在某个时间点 - 也许可以使用平滑的测量时间序列来提出基本函数？
• 是否已经存在像高斯或二次这样的已知形式？

一些例子：

• b 表示通过体积的激光束的强度。您希望入口侧在名义上与出口相同，其他四个边界为零强度。强度将具有同心高斯分布。

• b 是不可压缩流体中速度场的一个分量。流体必须无发散，因此在 NaN 区域中产生的任何场也必须无发散，因此您应用此条件。

• b 代表房间内的温度。您预计顶部的温度会更高，因为热空气会上升。

• b 代表机翼上的升力，在三个独立变量上进行测试。您可以很容易地在摊位上查找升降机，因此您可以确切地知道它在空间的某些部分会是什么。

优点/缺点：做对了，它会很棒。弄错了，尤其是非线性函数形式，它会非常错误的，并可能导致非常不稳定的结果。

健康警告你不能假设一个函数形式，得到漂亮的结果，然后用它们来证明函数形式是正确的。那只是糟糕的科学。该表单需要表现良好，并且独立于您的数据分析。