如何计算大数模数？

Question

如何在不使用计算器的情况下计算5 ^ 55模数221的模数？

我想密码学中的数论有一些简单的原理来计算这些东西.

Answer 1

好的,所以你要计算a^b mod m.首先,我们将采取一种天真的方法,然后看看我们如何改进它.

首先,减少a mod m.这意味着,找到一个数字,a1以便0 <= a1 < m和a = a1 mod m.然后在一个循环中重复乘以a1并再次减少mod m.因此,在伪代码中:

a1 = a reduced mod m
p = 1
for(int i = 1; i <= b; i++) {
    p *= a1
    p = p reduced mod m
}

通过这样做,我们避免大于的数字m^2.这是关键.我们避免了数大于究其原因m^2是因为在每一个步骤0 <= p < m和0 <= a1 < m.

举个例子,让我们来计算吧5^55 mod 221.首先,5已经减少了mod 221.

1. 1 * 5 = 5 mod 221
2. 5 * 5 = 25 mod 221
3. 25 * 5 = 125 mod 221
4. 125 * 5 = 183 mod 221
5. 183 * 5 = 31 mod 221
6. 31 * 5 = 155 mod 221
7. 155 * 5 = 112 mod 221
8. 112 * 5 = 118 mod 221
9. 118 * 5 = 148 mod 221
10. 148 * 5 = 77 mod 221
11. 77 * 5 = 164 mod 221
12. 164 * 5 = 157 mod 221
13. 157 * 5 = 122 mod 221
14. 122 * 5 = 168 mod 221
15. 168 * 5 = 177 mod 221
16. 177 * 5 = 1 mod 221
17. 1 * 5 = 5 mod 221
18. 5 * 5 = 25 mod 221
19. 25 * 5 = 125 mod 221
20. 125 * 5 = 183 mod 221
21. 183 * 5 = 31 mod 221
22. 31 * 5 = 155 mod 221
23. 155 * 5 = 112 mod 221
24. 112 * 5 = 118 mod 221
25. 118 * 5 = 148 mod 221
26. 148 * 5 = 77 mod 221
27. 77 * 5 = 164 mod 221
28. 164 * 5 = 157 mod 221
29. 157 * 5 = 122 mod 221
30. 122 * 5 = 168 mod 221
31. 168 * 5 = 177 mod 221
32. 177 * 5 = 1 mod 221
33. 1 * 5 = 5 mod 221
34. 5 * 5 = 25 mod 221
35. 25 * 5 = 125 mod 221
36. 125 * 5 = 183 mod 221
37. 183 * 5 = 31 mod 221
38. 31 * 5 = 155 mod 221
39. 155 * 5 = 112 mod 221
40. 112 * 5 = 118 mod 221
41. 118 * 5 = 148 mod 221
42. 148 * 5 = 77 mod 221
43. 77 * 5 = 164 mod 221
44. 164 * 5 = 157 mod 221
45. 157 * 5 = 122 mod 221
46. 122 * 5 = 168 mod 221
47. 168 * 5 = 177 mod 221
48. 177 * 5 = 1 mod 221
49. 1 * 5 = 5 mod 221
50. 5 * 5 = 25 mod 221
51. 25 * 5 = 125 mod 221
52. 125 * 5 = 183 mod 221
53. 183 * 5 = 31 mod 221
54. 31 * 5 = 155 mod 221
55. 155 * 5 = 112 mod 221

因此,5^55 = 112 mod 221.

现在,我们可以通过使用取幂进行平方来改善这一点; 这是着名的技巧,其中我们将求幂减少到只需要log b乘法而不是b.请注意,使用上面描述的算法,通过平方改进进行求幂,最终得到了从右到左的二进制方法.

a1 = a reduced mod m
p = 1
while (b > 0) {
     if (b is odd) {
         p *= a1
         p = p reduced mod m
     }
     b /= 2
     a1 = (a1 * a1) reduced mod m
}

因此,因为55 = 110111二进制

1. 1 * (5^1 mod 221) = 5 mod 221
2. 5 * (5^2 mod 221) = 125 mod 221
3. 125 * (5^4 mod 221) = 112 mod 221
4. 112 * (5^16 mod 221) = 112 mod 221
5. 112 * (5^32 mod 221) = 112 mod 221

所以答案是5^55 = 112 mod 221.这有效的原因是因为

55 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32

以便

5^55 = 5^(1 + 2 + 4 + 16 + 32) mod 221
     = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^16 * 5^32 mod 221
     = 5 * 25 * 183 * 1 * 1 mod 221
     = 22875 mod 221
     = 112 mod 221

在我们计算步骤5^1 mod 221,5^2 mod 221等我们注意到5^(2^k)= 5^(2^(k-1)) * 5^(2^(k-1))因为2^k = 2^(k-1) + 2^(k-1)这样我们就可以首先计算5^1和减少mod 221,那么这个平方和降低mod 221以获得5^2 mod 221等

上述算法形式化了这个想法.

Answer 2

添加到杰森的答案:

您可以使用指数的二进制扩展来加快进程(这可能对非常大的指数有用).首先计算5,5 ^ 2,5 ^ 4,5 ^ 8 mod 221 - 你通过重复平方来做到这一点:

 5^1 = 5(mod 221)
 5^2 = 5^2 (mod 221) = 25(mod 221)
 5^4 = (5^2)^2 = 25^2(mod 221) = 625 (mod 221) = 183(mod221)
 5^8 = (5^4)^2 = 183^2(mod 221) = 33489 (mod 221) = 118(mod 221)
5^16 = (5^8)^2 = 118^2(mod 221) = 13924 (mod 221) = 1(mod 221)
5^32 = (5^16)^2 = 1^2(mod 221) = 1(mod 221)

现在我们可以写了

55 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32

so 5^55 = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^16 * 5^32 
        = 5   * 25  * 625 * 1    * 1 (mod 221)
        = 125 * 625 (mod 221)
        = 125 * 183 (mod 183) - because 625 = 183 (mod 221)
        = 22875 ( mod 221)
        = 112 (mod 221)

你可以看到非常大的指数如何更快(我相信它是log而不是b中的线性,但不确定.)

Answer 3

/* The algorithm is from the book "Discrete Mathematics and Its
   Applications 5th Edition" by Kenneth H. Rosen.
   (base^exp)%mod
*/

int modular(int base, unsigned int exp, unsigned int mod)
{
    int x = 1;
    int power = base % mod;

    for (int i = 0; i < sizeof(int) * 8; i++) {
        int least_sig_bit = 0x00000001 & (exp >> i);
        if (least_sig_bit)
            x = (x * power) % mod;
        power = (power * power) % mod;
    }

    return x;
}