我的随机梯度下降的实现是否正确？

Question

我正在尝试开发随机梯度下降,但我不知道它是否100%正确.

• 我的随机梯度下降算法产生的成本有时与FMINUC或批量梯度下降产生的成本相差甚远.
• 当我将学习率α设置为0.2时,批量梯度下降成本收敛,我被迫为我的随机实现设置学习率α为0.0001,因为它不会发散.这是正常的吗？

以下是我使用10,000个元素和num_iter = 100或500的训练集获得的一些结果

    FMINUC : 
    Iteration  #100 | Cost: 5.147056e-001

    BACTH GRADIENT DESCENT  500 ITER
    Iteration #500 - Cost = 5.535241e-001

    STOCHASTIC GRADIENT DESCENT 100 ITER
    Iteration #100 - Cost = 5.683117e-001  % First time I launched
    Iteration #100 - Cost = 7.047196e-001  % Second time I launched

Logistic回归的梯度下降实现

J_history = zeros(num_iters, 1); 

for iter = 1:num_iters 

    [J, gradJ] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda);
    theta = theta - alpha * gradJ;
    J_history(iter) = J;

    fprintf('Iteration #%d - Cost = %d... \r\n',iter, J_history(iter));
end

Logistic回归的随机梯度下降实现

% number of training examples
m = length(y);

% STEP1 : we shuffle the data
data = [y, X];
data = data(randperm(size(data,1)),:);
y = data(:,1);
X = data(:,2:end);

for iter = 1:num_iters 

     for i = 1:m
        x = X(i,:); % Select one example
        [J, gradJ] = lrCostFunction(theta, x, y(i,:), lambda);
        theta = theta - alpha * gradJ;
     end

     J_history(iter) = J;
     fprintf('Iteration #%d - Cost = %d... \r\n',iter, J);

end

作为参考,这是我的例子中使用的逻辑回归成本函数

function [J, grad] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda)

m = length(y); % number of training examples

% We calculate J    
hypothesis = sigmoid(X*theta); 
costFun = (-y.*log(hypothesis) - (1-y).*log(1-hypothesis));    
J = (1/m) * sum(costFun) + (lambda/(2*m))*sum(theta(2:length(theta)).^2);

% We calculate grad using the partial derivatives
beta = (hypothesis-y); 
grad = (1/m)*(X'*beta);
temp = theta;  
temp(1) = 0;   % because we don't add anything for j = 0  
grad = grad + (lambda/m)*temp; 
grad = grad(:);

end

Answer 1

这基本没问题。如果您担心选择合适的学习率alpha，您应该考虑应用线搜索方法。

线搜索是一种在每次迭代时为梯度下降选择最佳学习率的方法，这比在整个优化过程中使用固定学习率要好。学习率的最佳值alpha是局部（从当前theta负梯度方向）最小化成本函数的值。

例如，在梯度下降的每次迭代中，从学习率开始alpha = 0并逐渐增加alpha固定步长。deltaAlpha = 0.01重新计算参数theta并评估成本函数。由于成本函数是凸的，因此通过增加alpha（即，通过向负梯度方向移动）成本函数将首先开始减少，然后（在某个时刻）增加。此时停止线搜索并alpha在成本函数开始增加之前取最后一个。theta现在用那个更新参数alpha。如果成本函数永远不会开始增加，则停止在 处alpha = 1。

注意：对于大的正则化因子（lambda = 100, lambda = 1000），可能deltaAlpha太大并且梯度下降发散。如果是这种情况，请减少deltaAlpha10 倍 ( deltaAlpha = 0.001, deltaAlpha = 0.0001)，直到达到deltaAlpha梯度下降收敛的适当值。

另外，您应该考虑使用除迭代次数之外的某些终止条件，例如，当两个后续迭代中的成本函数之间的差异变得足够小时（小于 some epsilon）。