按位异或两个数字会得到数字的和或差

Question

当我对任意两个数字进行异或时，我得到的是它们的差值或总和的绝对值。我在谷歌上搜索了很多，试图找到任何相关的公式。但对此没有明显的公式或陈述。

例子：

10 XOR 2 = 1010 XOR 10 = 1000(8)
 1 XOR 2 =   01 XOR 10 =   11(3)

所有数字都是如此吗？

Answer 1

正如 Dukelings 的回答和 CmdrMoozy 的评论所示，这并不总是正确的。正如您的帖子所示，至少有时是这样。那么这里就稍微详细一点的分析一下。

旁边+​

显然，如果（但不仅仅是如果）(x & y) == 0那么(x ^ y) == x + y，因为
x + y = (x ^ y) + ((x & y) << 1)

这占了 3 ³²种情况（对于每个位位置，有 3 个选择导致 AND 后结果为 0），其中(x ^ y) == (x + y).

然后还有一些情况(x & y) != 0。这些情况正是这样的情况
(x & y) == 0x80000000，因为最高位的进位是唯一不影响任何东西的进位。

这增加了 3 ³¹种情况（对于 31 位位置有 3 个选择，对于最高位只有 1 个选择）。

旁边-​

对于减法，有一个鲜为人知的恒等式x - y == (x ^ y) - ((~x & y) << 1)。

这和加法确实没有太大区别，而且分析也几乎一样。这次，如果（但不仅仅是如果）(~x & y) == 0那么(x ^ y) == x - y。这~并没有改变案件数量：仍然是 3 ³²。其中大多数情况与以前不同，但并非全部（考虑y = 0，那么x可以是任何东西）。

再次出现 3 ³¹例额外病例，这次来自(~x & y) == 0x80000000。

双方

和边并不脱节+。-有时，x ^ y = x + y = x - y。y = 0只有当 或时，才会发生这种情况y = 0x80000000。如果y = 0，x可以是任何(x & 0) == 0 事情。如果,又可以是任何值，这次是因为和都可以算出 0 或 到，并且两者都可以。(~x & 0) == 0xy = 0x80000000xx & 0x80000000~x & 0x800000000x80000000

这给出了 2 ³³种情况，其中x ^ y = x + y = x - y.

它还给出了 (3 ³² + 3 ³¹ ) * 2 - 2 ³³的情况，其中x ^ y是x + y或或两者，即 4941378580336984 或以 16 为基数的 118e285afb5158，这也是本网站x - y给出的答案。

这样的情况很多，但只占 2 ⁶⁴总空间的大约 0.02679% 。

Answer 2

不，这并不总是正确的。

6 = 110
3 =  11
   ----
XOR 101 = 5

SUM   9
DIFF  3

这绝不是完整的分析，但这是我所看到的：

对于第一个示例， 的最低有效位1010与 的位相同10，这会导致您在异或时得到差异。

对于第二个示例，所有相应的位都不同，这会导致您在异或时得到总和。

为什么这些属性成立应该很容易看出。