切割棒使成本最小化

Question

你必须把一根长棍切成l几块.必须在位置c1, c2, c3, ..., cn处进行切割,其中ci是整数1和n-1(包括)之间的整数.切割的成本等于制作它的棒的长度.削减的顺序应该是什么,以最大限度地降低运营的总成本？

例如,考虑长度10和切割必须在位置进行切割2, 4, 7.你可以按照给定的顺序切割木棒.第一次切割会花费10,因为棒是长度的10.第二次切割会花费8,因为切割所用的剩余棒是长度的10 - 2 = 8.最后的削减将花费6,因为剩余的棍子的长度是10 - 4 = 6.总费用是10 + 8 + 6 = 24

但是,如果我们按顺序切割棒:4, 2, 7我们得到的成本10 + 4 + 6 = 20对我们来说更好.

设计一种算法来解决问题.

我很确定这是一个DP问题.我能看到的一个诱人的复发关系是,如果我们切一根棍子,我们会得到两根小棍子.如果我们知道这两种棒的最佳解决方案,我们可以很容易地找出更大棒的最佳解决方案.但这样效率很低.

如果你有一个递归函数min_cost(stick_length, c_1, c_2, ..., c_n),它返回切割长度stick_length为的最小成本c_1, c_2, ..., c_n,则递归关系看起来像这样

min_cost(stick_length, c_1, c_2, ..., c_n) =
    stick_length 
    + minimum(min_cost(c_1, a_1, a_2, ..., a_i) 
    + min_cost (stick_length - c_1, 
                a_(i+1), ..., a_(n-1)),
                min_cost(c_2, a_1, a_2, ..., a_i) 
    + min_cost(stick_length - c_2, 
               a_(i+1), ..., a_(n-1)), ... , 
               min_cost(c_n, a_1, a_2, ..., a_i)
    + min_cost(stick_length - c_n,
                a_(i+1), ..., a_(n-1)))`,

a_1, a_2, ..., a_n剩下的待切割地点的排列在哪里.我们必须将所有可能的排列传递给递归函数,而不仅仅是我写过的那个.

这显然是不切实际的.我该如何解决这个问题？

Answer 1

另一种DP解决方案：

让我们的COST（a，b）是切割第a个和第b个切割点之间的线段的最佳成本。显然，COST（a，a）和COST（a，a + 1）为零。我们可以计算出COST（a，b）的最佳值，因为它是对所有中间点a + 1 ... b-1加上自己的线段长度的最小切割。因此，我们可以用对角线填充对角线三角形表，并以O（N ^ 3）时间复杂度和O（N ^ 2）空间找到最终结果作为COST（start，end）

Delphi代码（输出Cost 20 Sequence 4 2 7）

var
  Cuts: TArray<Integer>;
  Cost: array of array of Integer;
  CutSequence: array of array of String;
  N, row, col, leftpos, rightpos, cutpos, Sum: Integer;
begin
  Cuts := TArray<Integer>.Create(0, 2, 4, 7, 10); // start, cuts, end points
  N := Length(Cuts);
  SetLength(Cost, N, N);  //zero-initialized 2D array
  SetLength(CutSequence, N, N);  //zero-initialized 2D array

  for rightpos := 2 to N - 1 do
    for leftpos := rightpos - 2 downto 0 do begin //walk along the diagonals
                                                  //using previously computed results
      //find the best (mincost) cut
      Cost[leftpos, rightpos] := MaxInt; //big value
      for cutpos := leftpos + 1 to rightpos - 1 do begin
        Sum := Cost[leftpos, cutpos] + Cost[cutpos, rightpos];
        if Sum < Cost[leftpos, rightpos] then begin
          Cost[leftpos, rightpos] := Sum;
          //write down best sequence
          CutSequence[leftpos, rightpos] := Format('%d %s %s', [Cuts[CutPos],
            CutSequence[leftpos, cutpos], CutSequence[cutpos, rightpos]]);
        end;
      end;

      //add own length
      Cost[leftpos, rightpos] :=
        Cost[leftpos, rightpos] + Cuts[rightpos] - Cuts[leftpos];
    end;

  //show the best result
  Caption := Format('Cost %d  Sequence %s',[Cost[0, N-1], CutSequence[0, N-1]]);