大数乘法的模数

Question

是的我知道这个问题可能看起来很幼稚但我在谷歌和这个网站上搜索过很多但是找不到令人满意的答案.我只想计算(A*B)%MOD,假设a长很长,那么b和MOD也是如此.假设MOD大于A和B,使得A%MOD = A且B%MOD = B但A*B大于64位.如何计算(A*B)%MOD的正确值？

Answer 1

这里的基本思想是首先定义一个非溢出addmod函数，该函数在算术中利用负数。然后timesmod也使用位运算来定义。时间复杂度是O(N)其中 N 是使用的位数（在本例中为 64）。

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long BigInt; // must be signed, to detect overflow

BigInt A = 0x7fffffffffffff01;
BigInt B = 0x7fffffffffffff02;
BigInt M = 0x7fffffffffffff03;

// For simplicity it is assumed x, y, and m are all positive.
BigInt addmod( BigInt x, BigInt y, BigInt m )
{
  x %= m;
  y %= m;
  BigInt sum = x-m+y; // -m <= sum < m-1
  return sum < 0 ? sum + m : sum;
}

BigInt timesmod( BigInt x, BigInt y, BigInt m )
{
  x %= m;
  y %= m;
  BigInt a = x < y ? x : y; // min
  BigInt b = x < y ? y : x; // max
  BigInt product = 0;
  for (; a != 0; a >>= 1, b = addmod(b,b,m) )
    if (a&1) product = addmod(product,b,m);
  return product;
}

int main()
{
  cout << "A = " << A << endl;
  cout << "B = " << B << endl;
  cout << "M = " << M << endl;
  cout << "A*B mod M = " << timesmod(A,B,M) << endl;
  return 0;
}

输出：

A = 9223372036854775553
B = 9223372036854775554
M = 9223372036854775555
A*B mod M = 2

这很容易得到证实，因为A=-2和B=-1mod M。

注意：此代码未优化。