计算二阶巴特沃斯低通滤波器的系数

Question

随着,

采样频率:10kHz
截止频率:1kHz

我如何实际计算下面差分方程的系数？

我知道差分方程将采用这种形式,但不知道如何实际计算并得出系数b0,b1,b2,a1,a2的数字

y(n)  =  b0.x(n) + b1.x(n-1) + b2.x(n-2) + a1.y(n-1) + a2.y(n-2)

我最终将在C++中实现这个LPF,但我需要知道如何在我可以使用它之前先实际计算系数

Answer 1

干得好.ff是频率比,在你的情况下为0.1:

    const double ita =1.0/ tan(M_PI*ff);
    const double q=sqrt(2.0);
    b0 = 1.0 / (1.0 + q*ita + ita*ita);
    b1= 2*b0;
    b2= b0;
    a1 = 2.0 * (ita*ita - 1.0) * b0;
    a2 = -(1.0 - q*ita + ita*ita) * b0;

结果是:

b0 = 0.0674553
b1 = 0.134911
b2 = 0.0674553
a1 = 1.14298
a2 = -0.412802

Answer 2

对于那些想知道其他答案中那些神奇公式从何而来的人，这里有一个遵循此示例的推导。

从巴特沃斯滤波器的传递函数开始

G(s) = wc^2 / (s^2 + s*sqrt(2)*wc + wc^2)

其中wc是截止频率，应用双线性 z 变换，即替代s = 2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1)：

G(z) = wc^2 / ((2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1))^2 + (2/T*(1-z^-1)/(1+z^-1))*sqrt(2)*wc + wc^2)

T 是采样周期 [s]。

截止频率需要预先扭曲以补偿由 z 变换引入的模拟和数字频率之间的非线性关系：

wc = 2/T * tan(wd*T/2)

其中wd是所需的截止频率 [rad/s]。

让C = tan(wd*T/2)，为方便起见，使wc = 2/T*C。

将其代入等式，2/T因子会消失：

G(z) = C^2 / ((1-z^-1)/(1+z^-1))^2 + (1-z^-1)/(1+z^-1)*sqrt(2)*C + C^2)

将分子和分母乘以(1+z^-1)^2并展开，得到：

G(z) = C^2*(1 + 2*z^-1 + z^-2) / (1 + sqrt(2)*C + C^2 + 2*(C^2-1)*z^-1 + (1-sqrt(2)*C+C^2)*z^-2')

现在，将分子和分母除以分母中的常数项。为方便起见，让D = 1 + sqrt(2)*C + C^2：

G(z) = C^2/D*(1 + 2*z^-1 + z^-2) / (1 + 2*(C^2-1)/D*z^-1 + (1-sqrt(2)*C+C^2)/D*z^-2')

这种形式相当于我们正在寻找的形式：

G(z) = (b0 + b1*z^-1 + b2*z^-1) / (1 + a1*z^-1 +a2*z^-2)

所以我们通过将它们相等来得到系数：

a0 = 1

a1 = 2*(C^2-1)/D

a2 = (1-sqrt(2)*C+C^2)/D

b0 = C^2/D

b1 = 2*b0

b2 = b0

其中, D = 1 + sqrt(2)*C + C^2, C = tan(wd*T/2),wd是所需的截止频率 [rad/s],T是采样周期 [s]。