Python线性方程 - 高斯消元法

Question

目标

给定一组点,我试图找到满足所提供的所有点的线性方程的系数.

例如,如果我想找到线性方程(ax + by + c = z):

3x + 2y + 2 = z

我需要至少三个三维点:

(2, 2, 12)
(3, 4, 19)
(4, 5, 24)

给定坐标(x,y,z)的足够点,我应该能够使用高斯消元法找到(a,b,c).

但是,我认为我在特殊情况下遇到了解决矩阵的问题.你可以在这里查看我在python实现的第一次尝试:https://gist.github.com/anonymous/8188272

我们来看几个例子......

数据集1

使用以下"手工制作"点(x,y,z):

(2, 2, 12)
(3, 4, 19)
(4, 5, 24)

对以下矩阵执行LU分解:

[[  2.   2.   1.  12.]
 [  3.   4.   1.  19.]
 [  4.   5.   1.  24.]]

返回解决U矩阵:

[[  4.    5.    1.   24. ]
 [  0.   -0.5   0.5   0. ]
 [  0.    0.    0.5   1. ]]

返回的结果(a,b,c):

[3.0, 2.0, 2.0]

正确!一切似乎都很好......

数据集2

使用以下"手工制作"点(x,y,z):

(3, 4, 19)
(4, 5, 24)
(5, 6, 29)

对以下矩阵执行LU分解:

[[  3.   4.   1.  19.]
 [  4.   5.   1.  24.]
 [  5.   6.   1.  29.]]

返回解决U矩阵:

[[  5.00000000e+00   6.00000000e+00   1.00000000e+00   2.90000000e+01]
 [  0.00000000e+00   4.00000000e-01   4.00000000e-01   1.60000000e+00]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   4.44089210e-16   0.00000000e+00]]

返回的结果(a,b,c):

[1.0, 4.0, 0.0]

虽然从技术上讲它是一个解决方案,而不是我想要的!

数据集3

使用以下"手工制作"点(x,y,z):

(5, 6, 29)
(6, 7, 34)
(7, 8, 39)

对以下矩阵执行LU分解:

[[  5.   6.   1.  29.]
 [  6.   7.   1.  34.]
 [  7.   8.   1.  39.]]

返回解决U矩阵:

[[  7.00000000e+00   8.00000000e+00   1.00000000e+00   3.90000000e+01]
 [  0.00000000e+00   2.85714286e-01   2.85714286e-01   1.14285714e+00]
 [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00   3.55271368e-15]]

实施崩溃......

思考

在数据集2和3中,最后一行和倒数第二行是"特殊".倒数第二行对"b"和"c"具有相同的值(在我的特殊示例中也是如此!).不幸的是,我缺乏从中得到正面或反面的数学知识.

当最后一行全部为零并且其上方的行具有相等的值时,是否需要处理一些特殊情况？

提前致谢!

Answer 1

是的,这是一个特殊情况,您需要以不同的方式处理.在案例2和3中,您有一个等级缺陷矩阵.通常,它可能意味着存在无限多的解决方案,或者没有解决方案.

您可以通过堆叠这些3向量来检查矩阵的行列式来确定是否会发生这些情况.

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import det
>>> data1 = np.array([(2, 2, 12), (3, 4, 19), (4, 5, 24)])
>>> data2 = np.array([(3, 4, 19), (4, 5, 24), (5, 6, 29)])
>>> data3 = np.array([(5, 6, 29), (6, 7, 34), (7, 8, 39)])
>>> det(data1)
-1.9999999999999982
>>> det(data2)
5.551115123125788e-17
>>> det(data3)
8.881784197001213e-16

示例1是一个满秩矩阵,它几何上告诉您3个点是线性无关的.

示例2和3使矩阵具有零行列式,这可以告诉您这些点是线性相关的.