如何在给定切线方向的二次贝塞尔曲线上找到一个点（如果有）？

Question

我目前正在使用 python 库从 TrueType 字体中提取笔划 - 在这里，我将笔划定义为在测试点与其反射点之间运行的中线。我使用术语“反射点”来指代“墨水”区域另一侧的最近点，在正常情况下（除了在衬线词干处），该点的切线方向也与测试点相反.

我正在使用 fontTools 和从http://pomax.github.io/bezierinfo/#extremities 中描述的处理代码推出的贝塞尔库在 python 中工作。

目前我被困在如何找到具有给定切线的二次贝塞尔曲线上的点，我的数学技能在美好的一天非常基本，头脑清晰[现在不是仪式]所以我希望头脑更敏锐的人可以指出如何实现这一目标的鸟瞰概述。

目前，我唯一能想到的就是用类似于 Newton-Raphson 求根算法的方法在数值上接近它，但根据目标方向值评估一阶导数。然而，我希望有一个象征性的解决方案，因为这需要在字形轮廓中的每条曲线的每条其他曲线上运行。

Answer 1

使用http://pomax.github.io/bezierinfo/#extremities 中给出的符号，二次贝塞尔曲线由下式给出：

B(t) = P1*(1-t)**2 + 2*P2*(1-t)*t + P3*t**2

因此，（通过取导数的B相对于t）的切线曲线由下式给出

B'(t) = -2*P1*(1-t) + 2*P2*(1-2*t) + 2*P3*t
      = 2*(P1 - 2*P2 + P3)*t + 2*(-P1 + P2)

给定一些切线方向V，求解

B'(t) = V

为t。如果有解，t = ts，则贝塞尔曲线上具有切线方向的V点由 给出B(ts)。

我们本质上想知道两个向量（B'(t)和V）是平行还是反平行。有一个技巧可以做到这一点。

如果它们的点积为零，则两个向量X和Y是垂直的。如果和随后的点积和由下式给出X = (a,b)Y = (c,d)XY

a*c + b*d

因此，如果和是垂直的，X并且 和Y是平行的，其中是垂直于 的向量。XY_perpY_perpY

在二维中，如果在坐标中，Y = (a,b)则Y_perp = (-b, a). （还有两个垂直的向量可能的，但是这一次就行了。）请注意， -使用上述公式-的点积Y和Y_perp是

a*(-b) + b*(a) = 0

因此，确实，这与垂直向量的点积等于 0 的说法不谋而合。

现在，要解决我们的问题：让

B'(t) = (a*t+b, c*t+d)
V = (e, f)

ThenB'(t)平行（或反平行）到Vif 或 when B'(t)垂直于V_perp，这发生在

dot product((a*t+b, c*t+d), (-f, e)) = 0
-(a*t+b)*f + (c*t+d)*e = 0

我们知道a，b，c，d，e和f。求解t。如果t介于 0 和 1 之间，则B(t)是P1和之间的贝塞尔曲线段的一部分P3。