计算向量的导数

Question

我有以下功能（Viviani 曲线）：

Phi     = @(t)[ cos(t)^2, cos(t)*sin(t), sin(t) ]

只需检查它是否有效：

s = linspace(0,T,1000);
plot3(cos(s).^2, cos(s).*sin(s), sin(s));

如何衍生功能Phi（可能多次），它代表了一个点维维安尼的曲线，t其中，t从去0到2*pi？我是否定义了Phi适合这样的衍生物？我试过了diff，但它没有Phi像我需要的那样保留它。

如果二阶导数是Phi_d2，我需要得到它的值（例如在 中t = 0）。

我怎样才能做到这一点？

Answer 1

您可以通过以下三种方式来实现这一点。第一个使用subs，第二个使用 a symfun，第三个使用复阶微分：

% Using subs
syms t
Phi = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)];
Phi_d2 = diff(Phi,t)
double(subs(Phi_d2,t,0))

% Using symfun
syms t
Phi(t) = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)];
Phi_d2 = diff(Phi,t)
double(Phi_d2(0))

% Using complex step differentiation
Phi = @(t)[cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)];
h = 2^-28;
cdiff = @(f,x)imag(f(x(:)+1i*h))/h;
Phi_d2 = cdiff(Phi,0)

你可以在我的 GitHub 上cdiff找到一个执行一阶和二阶复杂阶跃微分的函数： . 请注意，复杂的阶跃微分不适用于高阶导数。当只有不可微函数或需要快速数值一阶导数时，这是最好的。

Answer 2

为了完整起见，不使用任何附加工具箱的数值解：

N = 999;
t = linspace(0,2*pi,N+1);
Phi = [cos(t); cos(t).*sin(t); sin(t)];
dPhi = gradient(Phi,2*pi/N)

对于非均匀间隔的参数向量， 的第二个参数gradient由间隔向量而不是标量定义。（时间或角度向量是合适的） - 在这种情况下，显然有必要分割维度。（虽然我不知道为什么。）

因此，尽管没有必要，但也可以这样：

dX = gradient(Phi(1,:),t);
dY = gradient(Phi(2,:),t);
dZ = gradient(Phi(3,:),t);
dPhi = [dX; dY; dZ];