从 QR 分解中获取帽子矩阵以进行加权最小二乘回归

Question

我正在尝试扩展lwr()包的功能McSptial，它适合将加权回归作为非参数估计。在函数的核心中lwr()，它使用以下方法反转矩阵solve()，它使用QR 分解而不是 QR 分解来我想更改它，但无法弄清楚如何从 QR 分解中获取帽子矩阵（或其他导数）。

有数据：

set.seed(0); xmat <- matrix(rnorm(500), nrow=50)    ## model matrix
y <- rowSums(rep(2:11,each=50)*xmat)    ## arbitrary values to let `lm.wfit` work
w <- runif(50, 1, 2)    ## weights

该lwr()功能如下：

xmat2 <- w * xmat
xx <- solve(crossprod(xmat, xmat2))
xmat1 <- tcrossprod(xx, xmat2)
vmat <- tcrossprod(xmat1)

我需要的值，例如：

sum((xmat[1,] %*% xmat1)^2)
sqrt(diag(vmat))

目前我使用reg <- lm.wfit(x=xmat, y=y, w=w)但无法设法恢复在我看来是帽子矩阵（xmat1）的东西。

Answer 1

这个老问题是我刚刚回答的另一个老问题的延续：通过 QR 分解、SVD（和 Cholesky 分解？）计算投影/帽子矩阵。该答案讨论了计算普通最小二乘问题的帽子矩阵的 3 个选项，而该问题是在加权最小二乘的背景下进行的。但该答案中的结果和方法将是我在这里答案的基础。具体来说，我将只演示 QR 方法。

OP 提到我们可以用来lm.wfit计算 QR 分解，但我们可以使用qr.default我们自己来计算，这就是我将展示的方式。

在继续之前，我需要指出OP的代码并没有按照他的想法行事。 xmat1不是帽子矩阵；相反，xmat %*% xmat1是。vmat不是帽子矩阵，虽然我不知道它到底是什么。然后我不明白这些是什么：

sum((xmat[1,] %*% xmat1)^2)
sqrt(diag(vmat))

第二个看起来像帽子矩阵的对角线，但正如我所说，vmat不是帽子矩阵。好吧，无论如何，我将继续正确计算帽子矩阵，并展示如何获得它的对角线和轨迹。

考虑一个玩具模型矩阵X和一些统一的正权重w：

set.seed(0); X <- matrix(rnorm(500), nrow = 50)
w <- runif(50, 1, 2)    ## weights must be positive
rw <- sqrt(w)    ## square root of weights

我们首先X1通过行重新缩放获得（乳胶段落中的 X_tilde）X：

X1 <- rw * X

然后我们对 进行 QR 分解X1。正如我的链接答案中所讨论的，我们可以在有或没有列旋转的情况下进行分解。lm.fit或者lm.wfit因此lm不进行旋转，但在这里我将使用旋转分解作为演示。

QR <- qr.default(X1, LAPACK = TRUE)
Q <- qr.qy(QR, diag(1, nrow = nrow(QR$qr), ncol = QR$rank))

请注意，我们没有tcrossprod(Q)像链接的答案中那样继续计算，因为那是针对普通最小二乘法的。对于加权最小二乘法，我们需要Q1和Q2：

Q1 <- (1 / rw) * Q
Q2 <- rw * Q

如果我们只想要帽子矩阵的对角线和迹，则不需要先进行矩阵乘法来得到全帽矩阵。我们可以用

d <- rowSums(Q1 * Q2)  ## diagonal
# [1] 0.20597777 0.26700833 0.30503459 0.30633288 0.22246789 0.27171651
# [7] 0.06649743 0.20170817 0.16522568 0.39758645 0.17464352 0.16496177
#[13] 0.34872929 0.20523690 0.22071444 0.24328554 0.32374295 0.17190937
#[19] 0.12124379 0.18590593 0.13227048 0.10935003 0.09495233 0.08295841
#[25] 0.22041164 0.18057077 0.24191875 0.26059064 0.16263735 0.24078776
#[31] 0.29575555 0.16053372 0.11833039 0.08597747 0.14431659 0.21979791
#[37] 0.16392561 0.26856497 0.26675058 0.13254903 0.26514759 0.18343306
#[43] 0.20267675 0.12329997 0.30294287 0.18650840 0.17514183 0.21875637
#[49] 0.05702440 0.13218959

edf <- sum(d)  ## trace, sum of diagonals
# [1] 10

在线性回归中，d是每个数据的影响，它对于生成置信区间（使用sqrt(d)）和标准化残差（使用sqrt(1 - d)）很有用。迹是模型的有效参数数量或有效自由度（因此我称之为edf）。我们看到edf = 10，因为我们使用了 10 个参数：X有 10 列并且它不是秩亏的。

通常d和edf就是我们所需要的。在极少数情况下，我们需要一个全帽矩阵。为了得到它，我们需要一个昂贵的矩阵乘法：

H <- tcrossprod(Q1, Q2)

帽子矩阵在帮助我们了解模型是否局部/稀疏方面特别有用。让我们绘制这个矩阵（阅读?image有关如何以正确方向绘制矩阵的详细信息和示例）：

image(t(H)[ncol(H):1,])

我们看到这个矩阵是完全稠密的。这意味着，每个数据的预测取决于所有数据，即预测不是局部的。而如果我们与其他非参数预测方法（如核回归、loess、P 样条（惩罚 B 样条回归）和小波）进行比较，我们将观察到稀疏帽子矩阵。因此，这些方法被称为局部拟合。