在空间中给出三个点(3D)找到弧/圆方程

Question

给定空间中的3个点(3D):A =(x1,y1,z1),B =(x2,y2,z2)C =(x3,y3,z3); 那么如何找到通过这三个点的圆(圆弧)的中心和半径,即找到圆方程？这里使用Python和Numpy是我的初始代码

import numpy as np
A = np.array([x1, y1, z1])
B = np.array([x2, y2, z2])
C = np.array([x3, y3, z3])

#Find vectors connecting the three points and the length of each vector
AB = B - A 
BC = C - B 
AC = C - A 

# Triangle Lengths
a = np.linalg.norm(AB)
b = np.linalg.norm(BC)
c = np.linalg.norm(AC)

根据Circumradius定义,可以使用以下方法找到半径:

R = (a * b * c) / np.sqrt(2.0 * a**2 * b**2 +
                          2.0 * b**2 * c**2 +
                          2.0 * c**2 * a**2 -
                          a**4 - b**4 - c**4)

但是,我在找到中心的笛卡尔坐标时遇到了问题.一个可能的解决方案是使用了"重心坐标"三角点找到外心(的三坐标外心).

首先(使用此源)我们找到外心的圆柱坐标:

#barcyntric coordinates of center
b1 = a**2 * (b**2 + c**2 - a**2)
b2 = b**2 * (c**2 + a**2 - b**2)
b3 = c**2 * (a**2 + b**2 - c**2)

那么中心(P)的笛卡尔坐标将是:

Px = (b1 * A[0]) + (b2 * B[0]) + (b3 * C[0])
Py = (b1 * A[1]) + (b2 * B[1]) + (b3 * C[1])
Pz = (b1 * A[2]) + (b2 * B[2]) + (b3 * C[2])   

但是,上面的barcyntric坐标值似乎不正确.当用已知值的示例求解时,半径是正确的,但是中心的坐标不是.

示例:对于以下三点:

A = np.array([2.0, 1.5, 0.0])
B = np.array([6.0, 4.5, 0.0])
C = np.array([11.75, 6.25, 0.0]) 

半径和中心坐标是:

R = 15.899002930062595
P = [13.4207317073, -9.56097560967, 0]

有关如何找到中心坐标的任何想法？

Answer 1

您的代码有两个问题.

第一个是命名约定.对于正在使用以保持所有式中,长度的侧a必须是一个点相对A,同样地,对于b和B和c和C.您可以通过将它们计算为:

a = np.linalg.norm(C - B)
b = np.linalg.norm(C - A)
c = np.linalg.norm(B - A)

第二个与源中的音符有关,用于外心的重心坐标:不一定是同质的.也就是说,它们不需要以任何方式进行标准化,并且用于从重心坐标计算笛卡尔坐标的公式仅在它们相加时才有效.

幸运的是,您只需将得到的笛卡尔坐标除以b1 + b2 + b3得到您所追求的结果.简化您的代码以提高效率,我得到您期望的结果:

>>> A = np.array([2.0, 1.5, 0.0])
>>> B = np.array([6.0, 4.5, 0.0])
>>> C = np.array([11.75, 6.25, 0.0])
>>> a = np.linalg.norm(C - B)
>>> b = np.linalg.norm(C - A)
>>> c = np.linalg.norm(B - A)
>>> s = (a + b + c) / 2
>>> R = a*b*c / 4 / np.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
>>> b1 = a*a * (b*b + c*c - a*a)
>>> b2 = b*b * (a*a + c*c - b*b)
>>> b3 = c*c * (a*a + b*b - c*c)
>>> P = np.column_stack((A, B, C)).dot(np.hstack((b1, b2, b3)))
>>> P /= b1 + b2 + b3
>>> R
15.899002930062531
>>> P
array([ 13.42073171,  -9.56097561,   0.        ])