为什么Math.pow(0,0)=== 1？

Question

我们都知道0 ⁰是不确定的.

但是,javascript说:

Math.pow(0, 0) === 1 // true

和C++说同样的话:

pow(0, 0) == 1 // true

为什么？

我知道:

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

但为什么不Math.pow(0, 0)抛出错误呢？或者也许NaN会比...更好1.

Answer 1

在C++中,pow(0,0)的结果基本上是实现定义的行为,因为在数学上我们有一个矛盾的情况N^0应该始终是1但0^N应该总是0为了N > 0,所以你不应该在数学上对这个结果没有任何期望.这个Wolfram Alpha论坛帖子详细介绍了一些.

虽然pow(0,0)结果1对于许多应用程序很有用,因为国际标准编程语言的基本原理-C在涉及IEC 60559浮点运算支持的部分中指出:

通常,C99避免使用数值有用的NaN结果.[...] pow(∞,0)和pow(0,0)的结果都是1,因为有些应用程序可以利用这个定义.例如,如果x(p)和y(p)是在p = a时变为零的任何解析函数,则当p接近时,等于exp(y*log(x))的pow(x,y)接近1一个.

更新C++

正如leemes正确地指出我最初链接为基准复杂的版本POW而不复杂的版本声称它是域误差的草案C++标准回落到草案C标准和两个C99和C11中部分7.12.7.4 的POW功能段2说(强调我的):

[...] 如果x为零且y为零,则可能发生域错误.[...]

据我所知,这意味着这种行为是未指明的行为绕回一个部分7.12.1 错误条件的处理说:

[...]如果输入参数位于定义数学函数的域之外,则会发生域错误.[...]在域错误中,函数返回实现定义的值; 如果整数表达式math_errhandling&MATH_ERRNO非零,则整数表达式errno获取值EDOM; [...]

因此,如果存在域错误,那么这将是实现定义的行为,但是在最新版本gcc和clang值中errno都是0如此,因此对于那些编译器而言不是域错误.

更新Javascript

对于Javascript,ECMAScript®语言规范在pow(x,y)下15.8 的数学对象部分中说明以下条件:15.8.2.13

如果y为+0,则结果为1,即使x为NaN.

Answer 2

在JavaScript Math.pow中定义如下:

• 如果y是NaN,则结果为NaN.
• 如果y为+0,则结果为1,即使x为NaN.
• 如果y为-0,则结果为1,即使x为NaN.
• 如果x是NaN且y非零,则结果为NaN.
• 如果abs(x)> 1且y为+∞,则结果为+∞.
• 如果abs(x)> 1且y为-∞,则结果为+0.
• 如果abs(x)== 1且y为+∞,则结果为NaN.
• 如果abs(x)== 1且y为-∞,则结果为NaN.
• 如果abs(x)<1且y为+∞,则结果为+0.
• 如果abs(x)<1且y为-∞,则结果为+∞.
• 如果x是+∞且y> 0,则结​​果为+∞.
• 如果x是+∞且y <0,则结果为+0.
• 如果x是-∞且y> 0且y是奇数,则结果为-∞.
• 如果x是-∞且y> 0且y不是奇数,则结果为+∞.
• 如果x是-∞且y <0且y是奇数,则结果为-0.
• 如果x是-∞且y <0且y不是奇数,则结果为+0.
• 如果x为+0且y> 0,则结​​果为+0.
• 如果x为+0且y <0,则结果为+∞.
• 如果x是-0且y> 0且y是奇数,则结果为-0.
• 如果x是-0且y> 0且y不是奇数,则结果为+0.
• 如果x是-0且y <0且y是奇数,则结果为-∞.
• 如果x是-0且y <0且y不是奇数,则结果为+∞.
• 如果x <0且x是有限的且y是有限的并且y不是整数,则结果是NaN.

_强调我的

作为一般规则,任何语言的本机函数都应按照语言规范中的描述进行操作.有时,这包括明确的"未定义行为",由实现者决定结果应该是什么,但这不是未定义行为的情况.

Answer 3

这仅仅是约定将其定义为1,0或离开它undefined.定义 因为以下定义而广泛传播:

ECMA-Script文档说明如下pow(x,y):

• 如果y为+0,则结果为1,即使x为NaN.
• 如果y为-0,则结果为1,即使x为NaN.

[ http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13 ]

Answer 4

根据维基百科:

在大多数不涉及指数连续性的设置中,将0 ⁰解释为1简化了公式,并且消除了定理中特殊情况的需要.

有几种可能的方法来对待0**0每种方法的利弊(参见维基百科的扩展讨论).

在IEEE 754-2008浮点标准推荐三种不同的功能:

• pow对待0**0为1.这是最早定义的版本.如果功率是精确整数,则结果与结果相同pown,否则结果为powr(除了一些例外情况).
• pown将0**0视为1.功率必须是精确整数.该值定义为负基数; 例如,pown(?3,5)是?243.
• powr将0**0视为NaN(非数字 - 未定义).对于powr(?3,2)基数小于零的情况,该值也是NaN .该值由exp(power'×log(base))定义.

Answer 5

唐纳德克努特

在1992年的这场辩论中解决了以下问题:

并在他的论文"注释符号"中进一步详细说明.

基本上,虽然我们没有1为限f(x)/g(x)对所有不是所有的函数f(x)和g(x),它仍然使组合学这么多简单的定义0^0=1,然后才使特殊情况在一些地方,你需要考虑的功能,例如0^x,它无论如何都很奇怪.毕竟x^0更频繁地出现了.

我所知道的关于这个主题的一些最好的讨论(除了Knuth论文)是:

• http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html
• http://www.quora.com/Mathematics/What-is-math-0-0-math?share=1
• https://math.stackexchange.com/questions/475337/the-binomial-formula-and-the-value-of-00

Answer 6

当你想知道什么时候你应该给出什么值f(a),f而不能直接计算a,你可以计算出趋于f何时的极限.xa

在的情况下x^y,通常的限制趋向1时x和y趋向于0,尤其是x^x朝着趋于1时x趋于0.

见http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtml

Answer 7

C语言定义说(7.12.7.4/2):

如果x为零且y为零,则可能发生域错误.

它还说(7.12.1/2):

在域错误上,该函数返回一个实现定义的值; 如果整数表达式math_errhandling&MATH_ERRNO非零,则整数表达式errno获取值EDOM; 如果整数表达式math_errhandling&MATH_ERREXCEPT非零,则引发''invalid''浮点异常.

默认情况下,价值math_errhandling的MATH_ERRNO,所以检查errno的价值EDOM.