Mar*_*des 294 javascript java floating-point
为什么更改总和顺序会返回不同的结果？
23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05
23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004
双方的Java和JavaScript的返回相同的结果.
我理解,由于浮点数用二进制表示的方式,一些有理数(如1/3 - 0.333333 ......)无法精确表示.
为什么简单地改变元素的顺序会影响结果？
Jon*_*eet 276
也许这个问题很愚蠢,但为什么简单地改变元素的顺序会影响结果呢？
它将根据其大小更改值舍入的点.作为我们所看到的那种事物的一个例子,让我们假设我们使用的是带有4位有效数字的十进制浮点类型,而不是二进制浮点数,其中每次加法都以"无限"精度执行,然后舍入到最近的可表示数字.这是两个总和:
1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
= 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
= 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)
2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
= 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
= 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)
我们甚至不需要非整数来解决这个问题:
10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
= 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
= 0
10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
= 0 + 1
= 1
这可能更清楚地表明,重要的部分是我们有限数量的有效数字 - 不是有限的小数位数.如果我们总能保持相同的小数位数,那么至少加上和减法,我们就没事了(只要值没有溢出).问题是当你得到更大的数字时,更小的信息会丢失 - 在这种情况下,10001被舍入到10000.(这是Eric Lippert在答案中提到的问题的一个例子.)
需要注意的是右手边的第一行的值在所有情况下,同样是很重要的-所以,虽然明白,你的十进制数(23.53,5.88,17.64)不会被精确表示,因为它是重要的double价值,这是由于上面显示的问题,只是一个问题.
rge*_*man 52
这是二进制文件中发生的事情.众所周知,某些浮点值无法用二进制精确表示,即使它们可以用十进制精确表示.这3个数字只是这个事实的例子.
使用此程序,我输出每个数字的十六进制表示和每个加法的结果.
public class Main{
public static void main(String args[]) {
double x = 23.53; // Inexact representation
double y = 5.88; // Inexact representation
double z = 17.64; // Inexact representation
double s = 47.05; // What math tells us the sum should be; still inexact
printValueAndInHex(x);
printValueAndInHex(y);
printValueAndInHex(z);
printValueAndInHex(s);
System.out.println("--------");
double t1 = x + y;
printValueAndInHex(t1);
t1 = t1 + z;
printValueAndInHex(t1);
System.out.println("--------");
double t2 = x + z;
printValueAndInHex(t2);
t2 = t2 + y;
printValueAndInHex(t2);
}
private static void printValueAndInHex(double d)
{
System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
}
}
该printValueAndInHex方法只是一个十六进制打印机助手.
输出如下:
403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004
第4个数字是x,y,z,和s的十六进制表示.在IEEE浮点表示中,位2-12表示二进制指数,即数字的比例.(第一位是符号位,尾数的其余位.)表示的指数实际上是二进制数减去1023.
提取前4个数字的指数:
sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5
第一组添加
第二个数字(y)的幅度较小.当添加这两个数字时x + y,第二个数字(01)的最后2 位移出范围,不计入计算.
第二个添加添加x + y并z添加两个相同比例的数字.
第二组补充
在这里,x + z先发生.它们具有相同的比例,但它们产生的数字在规模上更高:
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5
第二个添加添加x + z和y,现在删除3位y以添加数字(101).在这里,必须有向上舍入,因为结果是下一个浮点数向上:4047866666666666对于第一组加法与4047866666666667第二组加法.该错误足以显示在总数的打印输出中.
总之,在对IEEE数字执行数学运算时要小心.一些表示是不精确的,当尺度不同时,它们变得更加不精确.如果可以,添加和减去相似比例的数字.
Eri*_*ert 44
乔恩的回答当然是正确的.在您的情况下,错误不会大于您在执行任何简单浮点操作时累积的错误.你有一个场景,在一种情况下,你得到零错误,在另一种情况下,你得到一个小错误; 这实际上并不是一个有趣的场景.一个很好的问题是:是否存在将计算顺序从微小错误变为(相对)巨大错误的情况？答案是毫无疑问的.
考虑例如:
x1 = (a - b) + (c - d) + (e - f) + (g - h);
VS
x2 = (a + c + e + g) - (b + d + f + h);
VS
x3 = a - b + c - d + e - f + g - h;
显然,在精确算术中,它们将是相同的.尝试找到a,b,c,d,e,f,g,h的值使得x1和x2和x3的值相差很大是很有趣的.看看你能否这样做!
Com*_*ass 10
这实际上涵盖的不仅仅是Java和Javascript,并且可能会影响使用浮点数或双精度的任何编程语言.
在内存中,浮点使用IEEE 754的特殊格式(转换器提供了比我更好的解释).
无论如何,这是浮动转换器.
http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/
关于操作顺序的事情是操作的"精细度".
你的第一行从前两个值得到29.41,这给了我们2 ^ 4作为指数.
你的第二行产生41.17,它给出了2 ^ 5作为指数.
我们通过增加指数而失去一个重要的数字,这可能会改变结果.
尝试勾选最右边的最后一位开启和关闭41.17,你可以看到像指数的1/2 ^ 23那样"无关紧要"的东西足以引起这个浮点差异.
编辑:对于那些记得重要人物的人来说,这属于那个类别.具有显着数字1的10 ^ 4 + 4999将是10 ^ 4.在这种情况下,有效数字要小得多,但我们可以看到附加了.00000000004的结果.
浮点数使用IEEE 754格式表示,该格式为尾数(有效数字)提供特定的位大小.不幸的是,这会为您提供特定数量的"分数构建块",并且某些小数值无法精确表示.
在您的情况下发生的情况是,在第二种情况下,由于评估添加的顺序,添加可能会遇到一些精确问题.我没有计算出这些值,但可能是23.53 + 17.64不能精确表示,而23.53 + 5.88可以.
不幸的是,这是一个已知的问题,你只需要处理.
我认为这与评估的顺序有关.虽然数学世界中的总和自然是相同的,但在二进制世界中,而不是A + B + C = D,它就是
A + B = E
E + C = D(1)
所以浮动点数可以下降的第二步.
当您更改订单时
A + C = F
F + B = D(2)