如何快速准确地获得特征值和特征向量？

Question

我需要计算一个大矩阵的特征值和特征向量（大约1000 * 1000甚至更多）。Matlab的工作速度非常快，但不能保证准确性。我需要它是非常准确的（大约1e-06错误是可以的）并且在合理的时间内（一两个小时可以）。

我的矩阵对称且稀疏。确切的值是：对角线，主对角线下方，对角线上方和对角线上的值。例：

我怎样才能做到这一点？C ++对我来说最方便。

Answer 1

MATLAB不保证准确性

我认为这种说法是不合理的。您说基于什么理由，您可以找到（比）MATLAB高度精炼的计算算法更准确的实现？

AND ...使用MATLAB的eig，不到半秒即可计算出以下内容：

%// Generate the input matrix
X = ones(1000);
A = triu(X, -1) + tril(X, 1) - X;

%// Compute eigenvalues
v = eig(A);

很快就好！

我需要它非常准确（大约1e-06错误是可以的）

请记住，准确求解特征值与找到特征多项式的根有关。这个特定的1000x1000矩阵病态很 严重：

>> cond(A)

ans =
    1.6551e+003

一般的经验法则是，对于10 ^k的条件数，您可能会损失多达k位的精度（最重要的是，由于算术方法的精度下降，数值方法会损失精度）。

因此，在您的情况下，我希望结果的准确度可以达到10 ^-3的近似误差。