将线性比例转换为对数

Question

我有一个线性刻度,范围从0.1到10,变化增量为0.1:
  | ---------- [] ---------- |
0.1 5.0 10

但是,输出确实需要:
  | ---------- [] ---------- |
0.1 1.0 10(对数刻度)

我试图找出将5(例如)转换为1.0所需的公式.因此,如果刻度盘在1.0和10之间移动了一半(线性刻度上的实际值为7.5),那么得到的对数值是多少？几个小时以来一直在考虑这个问题,但是我在很多年里都没有使用过这种类型的数学,所以我真的迷失了.我理解log ₁₀ X = 10 ^y的基本概念,但这就是它.

psuedo-value 5.0将变为10(或10 ¹),而psuedo-value为10将为10 ¹⁰.那么如何计算伪值和得到的对数值,比如7.5？

如果需要添加信息,请告诉我.

感谢您提供的任何帮助; 这打败了我.

Answer 1

符号

正如数学和编程中的惯例一样,"对数"函数被认为是基础."exp"函数是指数函数.请记住,这些函数是反转的,我们将函数视为:

exp:ℝ→ℝ ⁺,和

日志:ℝ ⁺ →ℝ.

解

你只是在这里解决一个简单的等式:

y = a exp bx

求解a和b通过点x = 0.1,y = 0.1和x = 10,y = 10.

观察到y ₁/y ₂的比率由下式给出:

y ₁/y ₂ =(a exp bx ₁)/(a exp bx ₂)= exp b(x ₁ -x ₂)

哪个允许你解决b

b = log(y ₁/y ₂)/(x ₁ -x ₂)

其余的很容易.

b = log(10/0.1)/(10 - 0.1)= 20/99 log10≈0.46516870565536284

一个= Y ₁/EXP BX ₁ ≈0.09545484566618341

更多关于符号

在你的职业生涯中,你会发现那些使用日志功能使用基本e,基数10甚至基数2的约定的人. 这并不意味着任何人都是对或错. 它只是一个符号公约,每个人都可以自由使用他们喜欢的符号约定.

数学和计算机编程中的惯例是使用基数e对数,并且在这种情况下使用基数e简化了符号,这就是我选择它的原因.它与计算器使用的惯例不同,例如Google和您的TI-84提供的计算器,但同样,计算器适用于工程师,工程师使用的不同于数学家和程序员.

以下编程语言包括标准库中的base-e日志功能.

• C log()(和C++,包含)

• Java的 Math.log()

• JavaScript的 Math.log()

• Python math.log()(包括Numpy)

• Fortran语言 log()

• C#, Math.Log()

• [R

• 千里马(严格来说是CAS,而不是语言)

• 计划的 log

• Lisp的 log

事实上,我想不出一个的单一的编程语言,其中log()一个不为基础,自然对数.我确信这样的编程语言存在.

Answer 2

我意识到这个答案已经晚了六年，但它可能会帮助其他人。

给定值范围从 x0 到 x1 的线性尺度和值范围从 y0 到 y1 的对数尺度，x 和 y 之间（在任一方向）之间的映射由等式 1 中所示的关系给出：

 x - x0    log(y) - log(y0)
------- = -----------------      (1)
x1 - x0   log(y1) - log(y0)

在哪里，

x1 > x0
x0 <= x <= x1

y1 > y0
y0 <= y <= y1
y1/y0 != 1   ; i.e., log(y1) - log(y0) != 0
y0, y1, y != 0

例 1

线性 x 轴上的值范围从 10 到 12，对数 y 轴上的值范围从 300 到 3000。给定 y=1000，x 是什么？

重新排列方程 1 以求解“x”产量，

                 log(y) - log(y0)
x = (x1 - x0) * ----------------- + x0
                log(y1) - log(y0)

                log(1000) - log(300)
  = (12 - 10) * -------------------- + 10
                log(3000) - log(300)

  ? 11

例2

鉴于你的问题中的值，线性x轴上的值范围从0.1到10，对数y轴上的值范围从0.1到10，对数底为10。给定x=7.5，什么是是吗？

重新排列方程 1 以求解 'y' 收益率，

          x - x0
log(y) = ------- * (log(y1) - log(y0)) + log(y0)
         x1 - x0

        /  x - x0                                \
y = 10^|  ------- * (log(y1) - log(y0)) + log(y0) |
        \ x1 - x0                                /

        / 7.5 - 0.1                                  \
  = 10^|  --------- * (log(10) - log(0.1)) + log(0.1) |
        \  10 - 0.1                                  /

        / 7.5 - 0.1                    \
  = 10^|  --------- * (1 - (-1)) + (-1) |
        \  10 - 0.1                    /

  ? 3.13

:: 编辑（2020 年 10 月 11 日）::

就其价值而言，数字基数“n”可以是任何实数值的正数。上面的示例使用以 10 为底的对数，但对数底可以是 2、13、e、pi 等。这是我创建的一个电子表格，用于执行任何实值正数基数的计算。“解决方案”单元格为黄色，边框较粗。在这些图中，我随机选取了以 n=13 为底的对数，即 z = log ₁₃ (y)。

图 1. 电子表格值。

图 2. 电子表格公式。

图 3. X 和 Y 值的映射。