python:集成分段函数

Question

我想要整合一个定义的函数,该函数乘以勒让德多项式.不幸的是,我在文档中找不到如何使用x的第n个勒让德多项式.我想,当x的每个勒让德多项式整合n = 1,..., 50,所以我已经设置n = np.arange(1, 51, 1).

import numpy as np
import pylab
from scipy import integrate

n = np.arange(1, 51, 1)                                                   


def f(x):
    if 0 <= x <= 1:
        return 1
    if -1 <= x <= 0:
        return -1

我想我需要定义另一个函数u(x).

c = []


def u(x):
    c.append((2. * n + 1) / 2. * integrate.quad(f(x) * insert Legendre polynomials here, -1., 1.)) 
    return sum(c * Legendre poly, for nn in range(1, 51)) 

所以我会返回一些u(x)前50个术语,通过勒让德多项式扩展我的分段函数.

编辑1:

如果无法做到这一点,我可以使用罗德里格斯公式来计算第n个勒让德多项式.但是,当我在Python中寻找计算第n个衍生物时,我找不到任何有用的东西.

P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n

如果有人知道如何在Python中实现这样的方案,那么这是一个选项.

编辑2:

使用Saullo Castro的答案,我有:

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def f(x, coef):
    global p
    p = np.polynomial.legendre.Legendre(coef=coef)
    if 0 <= x <= 1:
        return 1*p(x)
    if -1 <= x <= 0:
        return -1*p(x)

c = []
for n in range(1, 51):
    c.append((2. * n + 1.) / 2. * quad(f, -1, 1, args=range(1,n+1))[0])

def g(x)
    return sum(c * p(x) for n in range(1, 51))

但是,如果我打印c,则值是错误的.值应该是1.5, 0, -7/8, 0, ...

此外,当我绘图时g,我想这样做x = np.linspace(-1, 1, 500000)的情节很详细,但c只有50个.如何实现？

Answer 1

如果我正确理解你的问题,你想要计算f(x)*Ln(x)的积分,其中f(x)是你用python函数定义的分段函数.我假设你对这个特定的步骤功能并不特别感兴趣.

您可以使用legval和系数参数的单位矩阵来获取勒让德多项式的值.

import numpy as np
import matplotlib

x = np.linspace(-1, 1, 201)

L = np.polynomial.legendre.legval(x, np.identity(50))

plt.plot(x, L.T)

然后,您可以使用正交执行积分.使用高斯 - 图例 - 正交可能更有效,因为图例多项式的积分对于Ln(x)是精确的,其中n小于正交尺寸.

import numpy as np    
from numpy.polynomial.legendre import leggauss, legval

def f(x):
    if 0 <= x <= 1:
        return 1
    if -1 <= x <= 0:
        return -1

# of course you could write a vectorized version of
# this particular f(x), but I assume you have a more
# general piecewise function
f = np.vectorize(f)

deg = 100
x, w = leggauss(deg) # len(x) == 100

L = np.polynomial.legendre.legval(x, np.identity(deg))
# Sum L(xi)*f(xi)*wi
integral = (L*(f(x)*w)[None,:]).sum(axis=1)

c = (np.arange(1,51) + 0.5) * integral[1:51]

x_fine = np.linspace(-1, 1, 2001) # 2001 points
Lfine = np.polynomial.legendre.legval(x_fine, np.identity(51))

# sum_1_50 of c(n) * Ln(x_fine)
cLn_sum = (c[:,None] * Lfine[1:51,:]).sum(axis=0)

c = 1.5,0,-8.75e-1,0,......我认为这是你正在寻找的结果.