计算多面体体积的通用公式

Question

给定顶点列表(v),连接顶点(e)的边列表以及连接边()的曲面列表s,如何计算多面体的体积？

Answer 1

1. 取多边形并将它们分成三角形.
2. 考虑由每个三角形和任意点(原点)形成的四面体.
3. 将这些四面体的签名体积相加.

笔记:

1. 这仅适用于从外部观察时可以对三角形保持一致的CC或CCW顺序的情况.
2. 四面体的有符号体积等于以下矩阵的行列式的1/6:

[x1 x2 x3 x4]
[y1 y2 y3 y4]
[z1 z2 z3 z4]
[1 1 1 1]

其中列是verticies(x,y,z,1)的齐次坐标.

即使形状没有通过减去该体积以及添加它来封闭原点,它仍然有效,但这取决于具有一致的排序.

如果你不能保留顺序,你仍然可以找到一些方法将其分解为四面体,并将每个行列式的行列式的1/6绝对值相加.