为什么我从两个所谓的类似算术运算中得到不同的结果？

Question

在下面的代码中,为什么乘法方法不会产生舍入误差,而累积加法方法是什么？

function get_value() { return 26.82; }

function a($quantity) {
    $value_excluding_vat = get_value();
    $value_including_vat = round($value_excluding_vat * (1 + (20 / 100)),2);
    $total_nett = 0;
    $total_gross = 0;
    for($i=0; $i<$quantity; $i++) {
        $total_nett += $value_excluding_vat;
        $total_gross += $value_including_vat;
    }
    return array(
        $total_nett,
        $total_gross
    );
}

function b($quantity) {
    $value_excluding_vat = get_value();
    $value_including_vat = round($value_excluding_vat * (1 + (20 / 100)),2);
    return array(
        $quantity * $value_excluding_vat,
        $quantity * $value_including_vat
    );
}

$totals = a(1000);
print_r($totals);
echo $totals[1] - $totals[0];
echo "\n\n";
$totals = b(1000);
print_r($totals);
echo $totals[1] - $totals[0];

这是我的输出:

Array
(
    [0] => 26820
    [1] => 32180
)
5360.0000000005

Array
(
    [0] => 26820
    [1] => 32180
)
5360

Answer 1

首先,考虑在基数10中有许多数是合理的,但在二进制浮点表示中则不是.例如,实际上浮点值为26.8226.8200000000000002842170943040400743484497

当然,如果你继续添加它自己一些错误蔓延,但最多15位有效数字你应该没问题 - 添加这1000次,总和实际上是 26819.9999999997671693563461303710937500000000

有趣的问题是,当我们得到多个26.82乘1000.0时26820.0000000000000000000000000000000000000000- 它是如何做到的？

答案就是26820.0 确实有一个精确的二进制表示,并且乘法运算足够聪明,可以发现 - 甚至乘以1001.0并减去26.82仍然可以得到一个确切的答案.

这是一些有趣的链接

• http://www.h-schmidt.net/FloatConverter/ - 这使您可以查看浮点数的单精度表示,并且可以用于真正理解浮点数
• 这个关于PHP舍入的RFC很有意思,因为它涵盖了围绕浮点数的一些问题
• 以及每个计算机科学家应该知道的关于浮点运算的内容