计算大矩阵特征值的最快方法

Question

到目前为止，我使用 numpy.linalg.eigvals 来计算具有至少 1000 行/列的二次矩阵的特征值，并且在大多数情况下，其条目的大约五分之一非零（我不知道这是否应该被视为稀疏矩阵）。我发现另一个主题表明 scipy 可能会做得更好。

但是，由于我必须计算数十万个大小不断增加的大型矩阵的特征值（可能高达 20000 行/列，是的，我需要它们的所有特征值），因此这总是需要很长时间。如果我能加快速度，即使是最微小的一点，那很可能是值得的。

所以我的问题是：在不限制自己使用 python 的情况下，是否有更快的方法来计算特征值？

Answer 1

@HighPerformanceMark 在评论中是正确的，因为 numpy（LAPACK 等）背后的算法是一些最好的，但可能不是最先进的，用于对角化完整矩阵的数值算法。但是，如果您有以下条件，则可以大大加快速度：

稀疏矩阵

如果您的矩阵是稀疏的，即填充条目的数量是 k，k<<N**2那么您应该查看scipy.sparse.

带状矩阵

有许多算法可用于处理特定带状结构的矩阵。查看中的求解器scipy.linalg.solve.banded。

最大特征值

大多数情况下，您并不真正需要所有特征值。事实上，大部分物理信息来自最大的特征值，其余的只是短暂的高频振荡。在这种情况下，您应该研究快速收敛到那些最大特征值/向量的特征值解决方案，例如Lanczos 算法。