GF(2)有限域中的Python乘法逆

Question

这两个函数执行扩展欧几里德算法,然后找到乘法逆.这个顺序似乎是正确的,但它并没有按照悉尼大学的这个工具回复http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/,因为这是在GF(2)完成的. )有限域,我想我错过了从基数10转换到这个字段的一些关键步骤.

这在基数10上进行了测试和处理,但是在这里可能无法接收具有二进制系数的多项式.所以我的问题是我错误地应用于这个算法的Python的哪些部分,例如// floor,可能无法承载基本10中的函数能够在GF(2)中执行此操作.

上面的工具可以像这样测试:

R<x>:=PolynomialRing(GF(2));
p:=x^13+x+1; q:=x^12+x;
g,r,s:=XGCD(p,q);

g eq r*p+s*q;

g,r,s;

功能:

def extendedEuclideanGF2(self,a,b): # extended euclidean. a,b are values 10110011... in integer form
    inita,initb=a,b;  x,prevx=0,1;  y,prevy = 1,0
    while b != 0:
        q = int("{0:b}".format(a//b),2)
        a,b = b,int("{0:b}".format(a%b),2);
        x,prevx = (int("{0:b}".format(prevx-q*x)), int("{0:b}".format(x,2)));  y,prevy=(prevy-q*y, y)
    print("Euclidean  %d * %d + %d * %d = %d" % (inita,prevx,initb,prevy,a))
    return a,prevx,prevy  # returns gcd of (a,b), and factors s and t

def modular_inverse(self,a,mod): # a,mod are integer values of 101010111... form
    a,mod = prepBinary(a,mod)
    bitsa = int("{0:b}".format(a),2); bitsb = int("{0:b}".format(mod),2)
    #return bitsa,bitsb,type(bitsa),type(bitsb),a,mod,type(a),type(mod)
    gcd,s,t = extendedEuclideanGF2(a,mod); s = int("{0:b}".format(s))
    initmi = s%mod; mi = int("{0:b}".format(initmi))
    print ("M Inverse %d * %d mod %d = 1"%(a,initmi,mod))
    if gcd !=1: return mi,False
    return mi   # returns modular inverse of a,mod

我一直在测试像这样的多项式,但当然是二进制形式:

p = "x**13 + x**1 + x**0" 
q = "x**12 + x**1"

Answer 1

该函数在使用 base-10 进行测试时有效，因为所有转换int("{0:b}".format(x))对 x 都没有影响：

37 == int("{0:b}".format(37), 2)  # >>> True

python中的数字对象都是以10为基数的。将数字转换为二进制字符串，然后再转换回整数没有任何效果。这是函数的另一个版本，它应该以 10 为基数的整数工作a并b以二进制形式返回它们。您可以删除该bin()函数以返回以 10 为基数的数字，或者在函数的第一行中使用类似将和从二进制lambda x: int("%d".format(x))转换为十进制的方法。ab

def extendedEuclideanGF2(a, b): # extended euclidean. a,b are values 10110011... in         integer form
    inita, initb = a, b   # if a and b are given as base-10 ints
    x, prevx = 0, 1
    y, prevy = 1, 0
    while b != 0:
        q = a//b
        a, b = b, a%b
        x, prevx = prevx - q*x, x
        y, prevy = prevy - q*y, y
    print("Euclidean  %d * %d + %d * %d = %d" % (inita, prevx, initb, prevy, a))
    i2b = lambda n: int("{0:b}".format(n))  # convert decimal number to a binary value in a decimal number
    return i2b(a), i2b(prevx), i2b(prevy)  # returns gcd of (a,b), and factors s and t

尽管如此，不要在这样的函数中使用 lambda - 我建议编写程序时完全避免使用二进制，您可以通过仅在程序接口与源数据进行二进制转换来实现这一点。