投射变换

Question

给定两个图像缓冲区(假设它是一个大小宽度为*的整数数组,每个元素都有一个颜色值),如何将一个四边形定义的区域从一个图像缓冲区映射到另一个(总是方形)图像缓冲区？我被理解这被称为"投射变换".

我也在寻找一种通用的(不是语言或库特定的)方式,这样它可以合理地应用于任何语言而不依赖于"为我完成所有工作的魔术功能X".

一个例子:我用Java编写了一个简短的程序,使用处理库(processing.org)从相机中捕获视频.在初始"校准"步骤期间,捕获的视频直接输出到窗口中.然后,用户点击四个点来定义将被变换的视频区域,然后在程序的后续操作期间映射到方形窗口.如果用户单击定义在相机输出中以一定角度可见的门角的四个点,则此变换将导致后续视频将门的变换图像映射到窗口的整个区域,尽管有点扭曲.

Answer 1

使用线性代数比所有几何都容易得多!此外,您不需要使用正弦,余弦等,因此您可以将每个数字存储为有理分数,并在需要时获得精确的数值结果.

您想要的是从旧的(x,y)坐标到新的(x',y')坐标的映射.你可以用矩阵来做.你需要找到2乘4的投影矩阵P,使P乘以旧坐标等于新的坐标.我们假设您将线条映射到线条(例如,不是直线到抛物线).因为你有一个投影(平行线不保持平行)和平移(滑动),你也需要一个因子(xy)和(1).绘制为矩阵:

          [x  ]
[a b c d]*[y  ] = [x']
[e f g h] [x*y]   [y']
          [1  ]

你需要知道一个通​​过h,所以解决这些方程式:

a*x_0 + b*y_0 + c*x_0*y_0 + d = i_0
a*x_1 + b*y_1 + c*x_1*y_1 + d = i_1
a*x_2 + b*y_2 + c*x_2*y_2 + d = i_2
a*x_3 + b*y_3 + c*x_3*y_3 + d = i_3

e*x_0 + f*y_0 + g*x_0*y_0 + h = j_0
e*x_1 + f*y_1 + g*x_1*y_1 + h = j_1
e*x_2 + f*y_2 + g*x_2*y_2 + h = j_2
e*x_3 + f*y_3 + g*x_3*y_3 + h = j_3

同样,您可以使用线性代数:

[x_0 y_0 x_0*y_0 1]   [a e]   [i_0 j_0]
[x_1 y_1 x_1*y_1 1] * [b f] = [i_1 j_1]
[x_2 y_2 x_2*y_2 1]   [c g]   [i_2 j_2]
[x_3 y_3 x_3*y_3 1]   [d h]   [i_3 j_3]

插入你的角落x_n,y_n,i_n,j_n.(Corners工作得最好,因为如果你从用户点击中选择点数,它们相距很远就能减少误差.)取4x4矩阵的倒数并乘以等式的右边.该矩阵的转置是P.您应该能够找到计算矩阵逆和在线乘法的函数.

你可能会有错误的地方:

• 计算时,记得检查除零.这表明你的矩阵是不可逆的.如果您尝试将一个(x,y)坐标映射到两个不同的点,则可能会发生这种情况.
• 如果您编写自己的矩阵数学,请记住矩阵通常指定为行,列(垂直,水平),屏幕图形为x,y(水平,垂直).第一次你肯定会出错.

Answer 2

编辑

以下关于角度比不变性的假设是不正确的.投射变换反而保留了交叉比率和发生率.那么解决方案是:

1. 在由段AD和CP定义的线的交叉点处找到点C'.
2. 在由AD和BP段定义的线的交点处找到点B'.
3. 确定B'DAC'的交叉比率,即r =(BA'*DC')/(DA*B'C').
4. 构造投影线F'HEG'.这些点的交叉比等于r,即r =(F'E*HG')/(HE*F'G').
5. F'F和G'G将在投影点Q相交,因此等于交叉比率并知道正方形边长,你可以用一些算术体操来确定Q的位置.

嗯......我会捅这个.该解决方案依赖于在变换中保持角度比率的假设.请参阅图像以获得指导(抱歉图像质量不佳......真的很晚).该算法仅提供四边形中的点到方形中的点的映射.您仍然需要实现处理映射到同一个方点的多个四点.

设ABCD为四边形,其中A是左上顶点,B是右上顶点,C是右下顶点,D是左下顶点.该对(xA,yA)表示顶点A的x和y坐标.我们将该四边形中的点映射到其边长等于m的方形EFGH.

计算长度AD,CD,AC,BD和BC:

AD = sqrt((xA-xD)^2 + (yA-yD)^2)
CD = sqrt((xC-xD)^2 + (yC-yD)^2)
AC = sqrt((xA-xC)^2 + (yA-yC)^2)
BD = sqrt((xB-xD)^2 + (yB-yD)^2)
BC = sqrt((xB-xC)^2 + (yB-yC)^2)

设θtaD是顶点D处的角度,θC是顶点C处的角度.使用余弦定律计算这些角度:

thetaD = arccos((AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2*AD*CD))
thetaC = arccos((BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2*BC*CD))

我们将四边形中的每个点P映射到正方形中的点Q. 对于四边形中的每个点P,请执行以下操作:

• 找到距离DP:

  DP = sqrt((xP-xD)^2 + (yP-yD)^2)
  

• 找到距离CP:

  CP = sqrt((xP-xC)^2 + (yP-yC)^2)
  

• 找到CD和DP之间的角度thetaP1:

  thetaP1 = arccos((DP^2 + CD^2 - CP^2) / (2*DP*CD))
  

• 找到CD和CP之间的角度thetaP2:

  thetaP2 = arccos((CP^2 + CD^2 - DP^2) / (2*CP*CD))
  

• thetaP1与thetaD的比值应为thetaQ1与90的比值.因此,计算thetaQ1:

  thetaQ1 = thetaP1 * 90 / thetaD
  

• 同样,计算thetaQ2:

  thetaQ2 = thetaP2 * 90 / thetaC
  

• 找到距离HQ:

  HQ = m * sin(thetaQ2) / sin(180-thetaQ1-thetaQ2)
  

• 最后,Q相对于EFGH左下角的x和y位置是:

  x = HQ * cos(thetaQ1)
  y = HQ * sin(thetaQ1)
  

您必须跟踪有多少颜色值映射到方形中的每个点,以便您可以计算每个点的平均颜色.

Answer 3

CodeProject 上有一个C++ 项目，其中包含位图投影变换的源代码。数学在维基百科上在这里。请注意，据我所知，投影变换不会将任何任意四边形映射到另一个四边形上，但对于三角形会这样做，您可能还想查找倾斜变换。