如何更有效地乘以转置矩阵？

Question

我一直在为此而奋斗.我有一个基于SSE的算法,用于矩阵乘以A矩阵B.我还需要实现A,B或两者都被转置的操作.我做了一个天真的实现,下面表示的4x4矩阵代码(我认为这是非常标准的SSE操作),但A*B^T操作大约需要两倍A*B.ATLAS实现返回与A*B转置相乘的类似值和几乎相同的结果,这表明有一种有效的方法可以做到这一点.

MM-乘法:

m1 = (mat1.m_>>2)<<2;
n2 = (mat2.n_>>2)<<2;
n  = (mat1.n_>>2)<<2;

for (k=0; k<n; k+=4) {
  for (i=0; i<m1; i+=4) {
    // fetch: get 4x4 matrix from mat1
    // row-major storage, so get 4 rows
    Float* a0 = mat1.el_[i]+k;
    Float* a1 = mat1.el_[i+1]+k;
    Float* a2 = mat1.el_[i+2]+k;
    Float* a3 = mat1.el_[i+3]+k;

    for (j=0; j<n2; j+=4) {
      // fetch: get 4x4 matrix from mat2
      // row-major storage, so get 4 rows
      Float* b0 = mat2.el_[k]+j;
      Float* b1 = mat2.el_[k+1]+j;
      Float* b2 = mat2.el_[k+2]+j;
      Float* b3 = mat2.el_[k+3]+j;

      __m128 b0r = _mm_loadu_ps(b0);
      __m128 b1r = _mm_loadu_ps(b1);
      __m128 b2r = _mm_loadu_ps(b2);
      __m128 b3r = _mm_loadu_ps(b3);

      {  // first row of result += first row of mat1 * 4x4 of mat2
        __m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+1), b1r));
        __m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a0+3), b3r));
        Float* c0 = this->el_[i]+j;
        _mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
      }

      { // second row of result += second row of mat1 * 4x4 of mat2
        __m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+1), b1r));
        __m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a1+3), b3r));
        Float* c1 = this->el_[i+1]+j;
        _mm_storeu_ps(c1, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c1)));
      }

      { // third row of result += third row of mat1 * 4x4 of mat2
        __m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+1), b1r));
        __m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a2+3), b3r));
        Float* c2 = this->el_[i+2]+j;
        _mm_storeu_ps(c2, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c2)));
      }

      { // fourth row of result += fourth row of mat1 * 4x4 of mat2
        __m128 cX1 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+0), b0r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+1), b1r));
        __m128 cX2 = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+2), b2r), _mm_mul_ps(_mm_load_ps1(a3+3), b3r));
        Float* c3 = this->el_[i+3]+j;
        _mm_storeu_ps(c3, _mm_add_ps(_mm_add_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c3)));
      }
  }
// Code omitted to handle remaining rows and columns
}

对于MT乘法(矩阵乘以转置矩阵),我用以下命令将b0r存储到b3r并适当地改变了循环变量:

__m128 b0r = _mm_set_ps(b3[0], b2[0], b1[0], b0[0]);
__m128 b1r = _mm_set_ps(b3[1], b2[1], b1[1], b0[1]);
__m128 b2r = _mm_set_ps(b3[2], b2[2], b1[2], b0[2]);
__m128 b3r = _mm_set_ps(b3[3], b2[3], b1[3], b0[3]);

我怀疑减速的部分原因是一次拉动一次并且每次都要存储4个值来获得色谱柱之间的区别,但我觉得另一种方式是这样做,拉入B行和然后乘以As的列,只需将成本转移到存储4列结果.

我也尝试将B的行拉成行然后_MM_TRANSPOSE4_PS(b0r, b1r, b2r, b3r);用来进行换位(我认为在那个宏中可能会有一些额外的优化),但是没有真正的改进.

从表面上看,我觉得这应该更快......所涉及的点数产品会连续一行,这看起来本质上更有效率,但试图直接做点产品只会导致必须做同样的事情存储结果.

我在这里错过了什么？

补充:为了澄清,我试图不转置矩阵.我宁愿沿着它们进行迭代.我能说的最好的问题是_mm_set_ps命令比_mm_load_ps慢得多.

我还尝试了一个变体,我存储了A矩阵的4行,然后替换了包含1个加载,4个乘法的4个卷曲括号的段,以及4个乘法指令和3个加2 hadds,但是没有用.时间保持不变(是的,我尝试使用调试语句来验证代码在我的测试编译中是否已更改.当然,在分析之前删除了所述调试语句):

    {  // first row of result += first row of mat1 * 4x4 of mat2
      __m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a0r, b0r), _mm_mul_ps(a0r, b1r));
      __m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a0r, b2r), _mm_mul_ps(a0r, b3r));
      Float* c0 = this->el_[i]+j;
      _mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
    }

    { // second row of result += second row of mat1 * 4x4 of mat2
      __m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a1r, b0r), _mm_mul_ps(a1r, b1r));
      __m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a1r, b2r), _mm_mul_ps(a1r, b3r));
      Float* c0 = this->el_[i+1]+j;
      _mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
    }

    { // third row of result += third row of mat1 * 4x4 of mat2
      __m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a2r, b0r), _mm_mul_ps(a2r, b1r));
      __m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a2r, b2r), _mm_mul_ps(a2r, b3r));
      Float* c0 = this->el_[i+2]+j;
      _mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
    }

    { // fourth row of result += fourth row of mat1 * 4x4 of mat2
      __m128 cX1 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a3r, b0r), _mm_mul_ps(a3r, b1r));
      __m128 cX2 = _mm_hadd_ps(_mm_mul_ps(a3r, b2r), _mm_mul_ps(a3r, b3r));
      Float* c0 = this->el_[i+3]+j;
      _mm_storeu_ps(c0, _mm_add_ps(_mm_hadd_ps(cX1, cX2), _mm_loadu_ps(c0)));
    }

更新: 是的,动人的行装载a0r到a3r到花括号中试图避免寄存器颠簸也失败了.

Answer 1

我认为这是水平添加有用的少数情况。您希望 C = A B^T 但 B 未作为转置存储在内存中。那就是问题所在。它的存储方式类似于 AoS，而不是 SoA。在这种情况下，我认为采用 B 的转置并进行垂直添加比使用水平添加慢。这至少对于矩阵向量来说是正确的与 SSE 的高效 4x4 矩阵向量乘法：水平加法和点积 - 有什么意义？。在下面的代码中，函数m4x4是非 SSE 4x4 矩阵乘积，m4x4_vec使用 SSE， 在没有 SSE 的情况下m4x4T执行 C=A B^T，并使用 SSEm4x4T_vec执行 C=A B^T。我想最后一张就是你想要的。

注意：对于较大的矩阵，我不会使用此方法。在这种情况下，首先进行转置并使用垂直添加会更快（使用 SSE/AVX，您可以做一些更复杂的事情，您可以使用 SSE/AVX 宽度转置条带）。这是因为转置为 O(n^2)，矩阵乘积为 O(n^3)，因此对于大矩阵，转置是微不足道的。然而，对于 4x4，转置很重要，因此水平相加获胜。

编辑：我误解了你想要的。你想要 C = (A B)^T。这应该和 (A B) 一样快，并且代码几乎相同，您基本上只是交换 A 和 B 的角色。
我们可以将数学写成如下：

C = A*B in Einstein notation is C_i,j = A_i,k * B_k,j.  
Since (A*B)^T = B^T*A^T we can write 
C = (A*B)^T in Einstein notation is C_i,j = B^T_i,k * A^T_k,j = A_j,k * B_k,i

如果比较两者，唯一改变的是我们交换了 j 和 i 的角色。我在这个答案的末尾放置了一些代码来执行此操作。

#include "stdio.h"
#include <nmmintrin.h>    

void m4x4(const float *A, const float *B, float *C) {
    for(int i=0; i<4; i++) {
        for(int j=0; j<4; j++) {
            float sum = 0.0f;
            for(int k=0; k<4; k++) {
                sum += A[i*4+k]*B[k*4+j];
            }
            C[i*4 + j] = sum;
        }
    }
}

void m4x4T(const float *A, const float *B, float *C) {
    for(int i=0; i<4; i++) {
        for(int j=0; j<4; j++) {
            float sum = 0.0f;
            for(int k=0; k<4; k++) {
                sum += A[i*4+k]*B[j*4+k];
            }
            C[i*4 + j] = sum;
        }
    }
}

void m4x4_vec(const float *A, const float *B, float *C) {
    __m128 Brow[4], Mrow[4];
    for(int i=0; i<4; i++) {
        Brow[i] = _mm_load_ps(&B[4*i]);
    }

    for(int i=0; i<4; i++) {
        Mrow[i] = _mm_set1_ps(0.0f);
        for(int j=0; j<4; j++) {
            __m128 a = _mm_set1_ps(A[4*i +j]);
            Mrow[i] = _mm_add_ps(Mrow[i], _mm_mul_ps(a, Brow[j]));
        }
    }
    for(int i=0; i<4; i++) {
        _mm_store_ps(&C[4*i], Mrow[i]);
    }
}

void m4x4T_vec(const float *A, const float *B, float *C) {
    __m128 Arow[4], Brow[4], Mrow[4];
    for(int i=0; i<4; i++) {
        Arow[i] = _mm_load_ps(&A[4*i]);
        Brow[i] = _mm_load_ps(&B[4*i]);
    }

    for(int i=0; i<4; i++) {
        __m128 prod[4];
        for(int j=0; j<4; j++) {
            prod[j] =  _mm_mul_ps(Arow[i], Brow[j]);
        }
        Mrow[i] = _mm_hadd_ps(_mm_hadd_ps(prod[0], prod[1]), _mm_hadd_ps(prod[2], prod[3]));    
    }
    for(int i=0; i<4; i++) {
        _mm_store_ps(&C[4*i], Mrow[i]);
    }

}

float compare_4x4(const float* A, const float*B) {
    float diff = 0.0f;
    for(int i=0; i<4; i++) {
        for(int j=0; j<4; j++) {
            diff += A[i*4 +j] - B[i*4+j];
            printf("A %f, B %f\n", A[i*4 +j], B[i*4 +j]);
        }
    }
    return diff;    
}

int main() {
    float *A = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
    float *B = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
    float *C1 = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);
    float *C2 = (float*)_mm_malloc(sizeof(float)*16,16);

    for(int i=0; i<4; i++) {
        for(int j=0; j<4; j++) {
            A[i*4 +j] = i*4+j;
            B[i*4 +j] = i*4+j;
            C1[i*4 +j] = 0.0f;
            C2[i*4 +j] = 0.0f;
        }
    }
    m4x4T(A, B, C1);
    m4x4T_vec(A, B, C2);
    printf("compare %f\n", compare_4x4(C1,C2));

}

编辑：

这是执行 C = (A B)^T 的标量和 SSE 函数。它们应该和 A B 版本一样快。

void m4x4TT(const float *A, const float *B, float *C) {
    for(int i=0; i<4; i++) {
        for(int j=0; j<4; j++) {
            float sum = 0.0f;
            for(int k=0; k<4; k++) {
                sum += A[j*4+k]*B[k*4+i];
            }
            C[i*4 + j] = sum;
        }
    }
}

void m4x4TT_vec(const float *A, const float *B, float *C) {
    __m128 Arow[4], Crow[4];
    for(int i=0; i<4; i++) {
        Arow[i] = _mm_load_ps(&A[4*i]);
    }

    for(int i=0; i<4; i++) {
        Crow[i] = _mm_set1_ps(0.0f);
        for(int j=0; j<4; j++) {
            __m128 a = _mm_set1_ps(B[4*i +j]);
            Crow[i] = _mm_add_ps(Crow[i], _mm_mul_ps(a, Arow[j]));
        }
    }

    for(int i=0; i<4; i++) {
        _mm_store_ps(&C[4*i], Crow[i]);
    }
}