三角形内的最大曲面

Question

我在准备比赛时遇到了以下有趣的问题.

你有一个三角形的长边a, b, c和一根长绳L.您需要找到具有最大表面积的绳索所包围的表面,并且必须完全位于三角形内.

所以,如果L = a + b + c,那么它就是三角形的区域.

另外,我们知道圆周面的面积最大,所以如果L小于或等于三角形内切圆的周长,那么该面积将是周长圆的面积L.

因此,剩下的情况是 alfa < L < a + b + c,alfa内切圆的周长在哪里.

任何想法都会很棒!

EDIT:我想知道我是否应该专注于某种算法来解决这个问题,或者试图找出一个数学公式.比赛包含两者的组合.边长可以长达100,a,b,c,L小数点后的精度为4位数.

Answer 1

..回答我自己的评论/问题，可以证明半径必须相等，

这是一个有用的公式：

灰色区域A为

A = r^2 ( alpha - Pi + 2/tan(alpha/2) ) /2

但更有用......弧长很简单：

s = 2 ( b - A/r )

从这里可以很容易地看出三个半径必须彼此相等：

写出绳子的长度和封闭面积：

ropelength = trianglelength  - 2  Sum[r[i]  a[i]  ]
ropearea = trianglearea -  Sum[r[i]^2  a[i] /2 ]

在哪里

 a[i]=( alpha[i] - Pi + 2/tan(alpha[i]/2) )

经过一些操作后，最大化面积导致所有 r[i] 相等。请注意，三个 a[i]、ropelength、trainglearea、trianglelength 都是常数，不需要计算。迂腐地将 sub 求解r[l] = f( constants, r[2],r[3] )到第二个表达式中，并求解
d ropearea /d r[2] = 0和 ，d /d r[3] = 0结果为：

r =(1/2) (triangle_length - rope_length) /(Sum(1/tan(alpha[i]/2)) - Pi)    

（a[i] 的混乱表达式仅在最后一步被替换）最后..

ropearea = trianglearea - (trianglelength-ropelength)^2/(8 Sum[a[i])
     = trianglearea - (1/2)(trianglelength-ropelength)  r

编辑——一个有用的恒等式..a，b，c，边的长度。

Sum(1/tan(alpha[i]/2))  = Sqrt( S^3 / ((S-a)(S-b)(S-c)) )
S = 1/2 (a+b+c)   ! S is semiperimeter not to be confused with arc length s 

上述表达式可用于重现内切圆的公式，

 rinscribed = Sqrt( ((S-a)(S-b)(S-c))  / S )