格拉姆施密特与R

Question

以下是第1页中用于执行Gram Schmidt的MATLAB代码 http://web.mit.edu/18.06/www/Essays/gramschmidtmat.pdf

因为我没有MATLAB,所以我正在尝试使用R来执行此操作数小时和数小时.这是我的R

f=function(x){
m=nrow(x);
n=ncol(x);
Q=matrix(0,m,n);
R=matrix(0,n,n);

for(j in 1:n){
v=x[,j,drop=FALSE];

for(i in 1:j-1){
R[i,j]=t(Q[,i,drop=FALSE])%*%x[,j,drop=FALSE];
v=v-R[i,j]%*%Q[,i,drop=FALSE]
}

R[j,j]=max(svd(v)$d);
Q[,j,,drop=FALSE]=v/R[j,j]}

return(list(Q,R))}

它继续说有两个错误:

v=v-R[i,j]%*%Q[,i,drop=FALSE] 

要么

R[j,j]=max(svd(v)$d);

我错误地将MATLAB代码转换为R ???是什么？

Answer 1

为了好玩,我添加了此代码的Armadillo版本并对其进行基准测试

犰狳代码:

#include <RcppArmadillo.h>
// [[Rcpp::depends(RcppArmadillo)]]

using namespace Rcpp;

//[[Rcpp::export]]
List grahm_schimdtCpp(arma::mat A) {
    int n = A.n_cols;
    int m = A.n_rows;
    arma::mat Q(m, n);
    Q.fill(0);
    arma::mat R(n, n);
    R.fill(0);  
    for (int j = 0; j < n; j++) {
    arma::vec v = A.col(j);
    if (j > 0) {
        for(int i = 0; i < j; i++) {
        R(i, j) = arma::as_scalar(Q.col(i).t() *  A.col(j));
        v = v - R(i, j) * Q.col(i);
        }
    }
    R(j, j) = arma::norm(v, 2);
    Q.col(j) = v / R(j, j);
    }
    return List::create(_["Q"] = Q,
                     _["R"] = R
    );
    }

R代码未优化(直接基于算法)

grahm_schimdtR <- function(A) {
    m <- nrow(A)
    n <- ncol(A)
    Q <- matrix(0, nrow = m, ncol = n)
    R <- matrix(0, nrow = n, ncol = n)
    for (j in 1:n) {
    v <- A[ , j, drop = FALSE]
        if (j > 1) {
    for(i in 1:(j-1)) {
            R[i, j] <- t(Q[,i,drop = FALSE]) %*% A[ , j, drop = FALSE]
            v <- v - R[i, j] * Q[ ,i]
    }
    }
    R[j, j] = norm(v, type = "2")
    Q[ ,j] = v / R[j, j]
    }

    list("Q" = Q, "R" = R)

}

R中的原生QR分解

qrNative <- function(A) {
    qrdec <- qr(A)
    list(Q = qr.R(qrdec), R = qr.Q(qrdec))
}

我们将使用与原始文档中相同的矩阵进行测试(上面的帖子中的链接)

A <- matrix(c(4, 3, -2, 1), ncol = 2)

all.equal(grahm_schimdtR(A)$Q %*% grahm_schimdtR(A)$R, A)
## [1] TRUE

all.equal(grahm_schimdtCpp(A)$Q %*% grahm_schimdtCpp(A)$R, A)
## [1] TRUE

all.equal(qrNative(A)$Q %*% qrNative(A)$R, A)
## [1] TRUE

现在让我们对它进行基准测试

require(rbenchmark)
set.seed(123)
A <- matrix(rnorm(10000), 100, 100)
benchmark(qrNative(A),
          grahm_schimdtR(A),
          grahm_schimdtCpp(A),
          order = "elapsed")
##                  test replications elapsed relative user.self
## 3 grahm_schimdtCpp(A)          100   0.272    1.000     0.272
## 1         qrNative(A)          100   1.013    3.724     1.144
## 2   grahm_schimdtR(A)          100  84.279  309.849    95.042
##   sys.self user.child sys.child
## 3    0.000          0         0
## 1    0.872          0         0
## 2   72.577          0         0

我真的很喜欢将代码移植到Rcpp中是多么容易....

Answer 2

如果要将Matlab中的代码转换为R,那么代码语义(代码逻辑)应保持相同.例如,在您的代码中,您t(Q[,i,drop=FALSE])根据给定的Matlab代码转置Q in .但是Q[,i,drop=FALSE]不会在列向量中返回列.因此,我们可以使用以下语句使其成为列向量:

matrix(Q[,i],n,1); # n is the number of rows.

R[j,j]=max(svd(v)$d)if v是矢量(行或列)没有错误.

是的,有一个错误

v=v-R[i,j]%*%Q[,i,drop=FALSE]

因为你正在使用矩阵乘法.相反,你应该使用正常的乘法:

v=v-R[i,j] * Q[,i,drop=FALSE]

这R[i,j]是一个数字,而是Q[,i,drop=FALSE]一个向量.因此,尺寸不匹配就出现在这里.

还有一件事,如果j是3,则1:j-1返回[0,1,2].因此,应将其更改为1:(j-1),对于相同的值,返回[1,2] j.但是有一个问题!如果j是2,则1:(j-1)返回[1,0].因此,对于向量或矩阵,第0个索引是未定义的.因此,我们可以0通过放置条件表达式来绕过值.

这是Gram Schmidt算法的工作代码:

A = matrix(c(4,3,-2,1),2,2)
m = nrow(A)
n = ncol(A)
Q = matrix(0,m,n)
R = matrix(0,n,n)

for(j in 1:n)
{
    v = matrix(A[,j],n,1)
    for(i in 1:(j-1))
    {
        if(i!=0)
        {
            R[i,j] = t(matrix(Q[,i],n,1))%*%matrix(A[,j],n,1)
            v = v - (R[i,j] * matrix(Q[,i],n,1))
        }
    }
    R[j,j] = svd(v)$d 
    Q[,j] = v/R[j,j]
}

如果需要将代码包装到函数中,可以根据自己的方便进行.

Answer 3

这里的版本与你的版本非常相似，但没有使用额外的变量 v。我直接使用 Q 矩阵。所以没必要用drop. 当然，既然你已经j-1在索引中，你需要添加条件j>1。

f=function(x){
  m <- nrow(x)
  n <- ncol(x)
  Q <- matrix(0, m, n)
  R <- matrix(0, n, n)
  for (j in 1:n) {
    Q[, j] <- x[, j]
    if (j > 1) {
      for (i in 1:(j - 1)) {
        R[i, j] <- t(Q[, i]) %*% Q[, j]
        Q[, j] <- Q[, j] - R[i, j] * Q[, i]
      }
    }
    R[j, j] <- max(svd(Q[, j])$d)
    Q[, j] <- Q[, j]/R[j, j]
  }
  return(list(Q = Q, R = R))
}

编辑添加一些基准测试：

为了获得一些真实的案例，我使用了包Hilbert中的矩阵Matrix。

library(microbenchmark)
library(Matrix)
A <- as.matrix(Hilbert(100))
microbenchmark(grahm_schimdtR(A),
               grahm_schimdtCpp(A),times = 100L)

Unit: milliseconds
expr       min         lq     median        uq        max neval
grahm_schimdtR(A) 330.77424 335.648063 337.443273 343.72888 601.793201   100
grahm_schimdtCpp(A)   1.45445   1.510768   1.615255   1.66816   2.062018   100

正如预期的那样，CPP解决方案确实更快。

Answer 4

您可以简单地使用 Hans W. Borchers 的pracma 包，它提供了许多用 R 翻译的 Octave/Matlab 函数。

> library(pracma)
> gramSchmidt
function (A, tol = .Machine$double.eps^0.5) 
{
    stopifnot(is.numeric(A), is.matrix(A))
    m <- nrow(A)
    n <- ncol(A)
    if (m < n) 
        stop("No. of rows of 'A' must be greater or equal no. of colums.")
    Q <- matrix(0, m, n)
    R <- matrix(0, n, n)
    for (k in 1:n) {
        Q[, k] <- A[, k]
        if (k > 1) {
            for (i in 1:(k - 1)) {
                R[i, k] <- t(Q[, i]) %*% Q[, k]
                Q[, k] <- Q[, k] - R[i, k] * Q[, i]
            }
        }
        R[k, k] <- Norm(Q[, k])
        if (abs(R[k, k]) <= tol) 
            stop("Matrix 'A' does not have full rank.")
        Q[, k] <- Q[, k]/R[k, k]
    }
    return(list(Q = Q, R = R))
}
<environment: namespace:pracma>