"扩展"IFFT

Question

如果我有波形x如

x = [math.sin(W*t + Ph) for t in range(16)]

任意W和Ph,和我计算其(真实)FFT f与

f = numpy.fft.rfft(x)

我可以得到原来x用

numpy.fft.irfft(f)

现在,如果我需要将恢复波形的范围扩展到左侧和右侧的多个样本,该怎么办？即波形y这样len(y) == 48,y[16:32] == x和y[0:16], y[32:48]是原始波形的周期延长.

换句话说,如果FFT假设其输入是f(t)采样的无限函数t = 0, 1, ... N-1,我该如何恢复f(t)for t<0和t>=N？的值.

注意:我使用完美的正弦波作为示例,但实际上x可以是任何东西:任意信号,如x = range(16)或x = np.random.rand(16),或从随机.wav文件中取出的任何长度的段.

Answer 1

现在，如果我需要将恢复波形的范围向左和向右扩展多个样本该怎么办？即波形 y 使得 len(y) == 48, y[16:32] == x 且 y[0:16], y[32:48] 是原始波形的周期扩展。

周期扩展也只是 x，因为它是周期扩展。

换句话说，如果 FFT 假设其输入是在 t = 0, 1, ... N-1 上采样的无限函数 f(t)，那么如何恢复 t<0 和 t 的 f(t) 值>=N？

“N 点 FFT 假设”您的信号是周期性的，周期为 N。这是因为您的块分解为的所有谐波基函数都是周期性的，之前的 N 和后续的 N 个样本只是主要N个样本。

如果您允许W输入正弦曲线的任何值，则不会是周期性的，周期为 N。但这并不能阻止 FFT 函数将其分解为许多周期性正弦曲线的总和。周期性为 N 的周期性正弦曲线之和也将具有 N 的周期性。

显然，你必须重新思考这个问题。

也许你可以利用线性预测。根据片段的加窗自相关和 Levinson-Durbin 递归计算几个线性预测系数，并使用这些预测系数进行推断。然而，对于稳定的预测滤波器，预测将收敛到零，收敛速度取决于您拥有的信号类型。例如，白噪声的完美线性预测系数全部为零。在这种情况下，您将向左侧和右侧“外推”零。但你对此无能为力。如果您有白噪声，则片段中没有有关周围样本的信息，因为所有样本都是独立的（这就是白噪声的含义）。

这种线性预测实际上能够完美地预测正弦样本。因此，如果您的输入是任意 W 和 p 的 sin(W*t+p)，您将只需要二阶线性预测。对于更复杂的信号，我建议阶数为 10 或 16。