二次曲线的速度

Question

我正在写一个2D游戏,我在相机空间里有鸟.我想让它们飞起来.所以,我生成3~随机点.第一个是左上侧,第二个是中底,第三个是右上.

结果我有180度旋转三角形.

为了使一只鸟在曲线的路径上移动,我有一个t参数,它在每个帧(渲染循环)中增加一些增量.

问题是在不同的曲线中,鸟类的速度不同.如果三角形是"宽"(1)它们更慢,如果它被Y坐标(2)拉伸,速度非常快.

但我想在不同的曲线上使速度相等.从逻辑上讲,我必须改变delta每条曲线附加的每一帧.

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我试图像这样解决它:

通过求和2个向量的长度来找到曲线的长度:P1P2和P2P3.

比我已经定义了每帧1个虚拟仪表的速度.一个小伪代码:

float pixelsInMeter = 92.f; // One virtual meter equals to this number of pixels
float length = len(P1P2) + len(P2P3)
float speed  = 0.0003f; // m/frame

// (length * speed) / etalon_length
float speedForTheCurve = toPixels( (toMeters(length) * speed) / 1.f);

// ...
// Each frame code:
t += speedForTheCurve;
Vector2 newPos = BezierQuadratic(t, P1, P2, P3);

但是鸟无论如何都有不同的速度.怎么了？或者也许有更好的方法.

Answer 1

您使用的贝塞尔函数是一个边界为 [0...1] 的参数化函数。你搞乱了步长，这就是你获得疯狂速度的原因。一般来说，距离d是方程中的因变量，这对我来说，它们的速度会根据曲线的长度而不同。

由于速度是因变量，我们将通过计算步长来向量化您的函数。

查看这个伪代码：

P1 = (x1, y1)

P2 = (x2, y2)

P3 = (x3, y3)

int vec[100][2]

int getPoint(int p1, int p2, float stepSize) {
   return p1 + (p2 - p1)*stepSize;
}

for (float i = 0.0; i < 1.0; i += 0.01 ) {
   int newX = getPoint(getPoint(x1, x2, i), getPoint(x2, x3, i), i);
   int newY = getPoint(getPoint(y1, y2, i), getPoint(y2, y3, i), i);
   vec[iter++][0] = newX;
   vec[iter][1] = newY;
}

您可以通过执行一阶差分来获取增量值，但我认为这是没有必要的。只要您根据步骤迭代将所有小鸟移动适当的距离，它们都会移动不同的距离，但它们的轨迹将相同地开始和结束。

根据您的方程，我们可以计算像素增量步长：

int pixelsToMove = toMeter(sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2))/pixelsInMeter;

这将为您提供适当数量的像素来移动小鸟。这样他们都会移动不同的步长，但速度会不同。那有意义吗？

或者，尝试这样的事情（更难）：

1. 获取您选择的三个点的实际二次函数。
2. xy对两个直角坐标之间的二次积分
3. 将计算的长度转换为像素或您正在使用的任何内容
4. 获得因变量速度，以便所有曲线同时完成。

让我们从二次的东西开始：

y = Ax^2 + Bx + C其中A != 0，因此由于您有三个点，因此您将需要三个方程。使用代数，您可以求解以下常数：

A = (y3 - y2)/((x3 - x2)(x3 - x1)) - (y1 - y2)/((x1 - x2)(x3 - x1))

B = (y1 - y2 + A(x2^2 - x1^2))/(x1 - x2)

C = y1 - Ax1^2 - Bx1

然后您可以使用上面的公式来获得闭合形式的弧长。查看这个网站，wolfram 将为您集成它，您只需输入：

二次积分的封闭式解

现在您已经计算了弧长，请转换actualArcLength为速度或您使用的任何单位：

float speedForTheCurve = toPixels( (toMeters(actualArcLength) * speed) / 1.f);